Kako pronaći prvi derivat f (x) = 2 sin (3x) + x?

Odgovor:

#F "(x) = 6cos (3x) + 1 #

Obrazloženje:

Razlikujte svaki pojam:

# (D (x)) / dx = 1 #

Koristeći pravila lanca za drugi pojam imamo:

#G (x) = h (k (x)) => g '(x) = k' (x) h '(k (x)) *

# h (u) = 2sin (u) => h '(u) = 2cos (u) #

#K (x) = 3x => k '(x) = 3 #

#G (x) = 2sin (3 x) => g '(x) = 6cos (3 x) *

Zajedno imamo:

#F "(x) = 6cos (3x) + 1 #

Odgovor:

Od nas se traži da pronađemo izvedenicu od #f (x) = 2sin (3x) + x # koristeći definiciju: #f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) - f (x)) / (h) #.

Obrazloženje:

Moramo procijeniti:

#lim_ (hrarr0) (preopterećenje (2sin (3 (x + h)) + (x + h)) ^ (f (x + h)) - preopterećenje (2sin (3x) + x) ^ f (x)) / h #.

To će biti glomazno. Da bi izgledao manje komplicirano, podijelimo izraz na dva jednostavnija dijela. Uzet ćemo odvojeno trigonometrijski dio i linearni dio.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

Pretpostavljam da možete pokazati da je druga granica #1#, Više izazovna granica je granica koja uključuje trigonometrijske funkcije.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h = 2lim_ (hrarr0) (sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (preopterećenje ((sin3xcos3h + cos3xsin3h)) ^ sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3xcos3x -sin3x + cos3xsin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) ((sin3x (cos3h - 1)) / h + (cos3xsin3h) / h) #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3x (cos3h - 1) / h + cos3x (sin3h) / h) #

# = 2 lim_ (hrarr0) sin3x lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / h + lim_ (hrarr0) cos3x lim_ (hrarr0) (sin3h) / h #

# = 2 (lim_ (hrarr0) sin3x) (3_m (hrarr0) (cos3h - 1) / (3h)) + (lim_ (hrarr0) cos3x) (3mil (hrar0) (sin3h) / (3h))

# = 2 (sin3x) (3 * 0) + (cos3x) (3 * 1) #

# = 2 (3cos3x) = 6cos (3x) #

Dakle, kada stavimo dva dijela zajedno, dobivamo:

#f '(x) = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) + (x + h) - 2sin (3x) + x) / h #

# = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

# = 6cos (3x) + 1 #