Kako napisati djelomičnu dekompoziciju racionalnog izraza (3x) / (x ^ 3 - 2x ^ 2 - x + 2)?

Odgovor:

# (3 x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) *

Obrazloženje:

Da bismo napisali navedeni izraz u djelomične frakcije, mislimo o faktoriziranju nazivnika.

Razmotrimo nazivnik

#COLOR (plava) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) *

# = Boja (plava) (x ^ 2 (x-2) - (x-2)) *

# = Boja (plava) ((x-2), (x ^ 2-1)) *

Primjena identiteta polinoma:

#COLOR (narančasto) (a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b)) *

imamo:

#COLOR (plava) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) *

# = Boja (plava) ((x-2), (x ^ 2-1 ^ 2)) *

# = Boja (plava) ((x-2), (x-1), (x + 1)) *

Razložimo racionalni izraz pronalaskom # A, B i C #

#COLOR (smeđe) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) = boja (zeleno) ((3 x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x 2)) #

#COLOR (smeđe) (A / (x-2) + B / (x-1) + (C / x) + 1) #

# = Boja (smeđe) ((A (x-1), (x + 1)) / (x-2) + (B (x-2), (x + 1)) / (x-1) + (C (x-2), (x-1)) / (x + 1)) *

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2 + x-2x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2x-2x + 2)) / (x + 1) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2-x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2-3x + 2)) i / (x + 1) #

# = (Ax ^ 2-A + Bx ^ 2-Bx-2B + Cx ^ 2-3Cx + 2C) / ((x-2), (x-1), (x + 1) #

# = Boja (smeđe) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2), (x-1), (x + 1)) *

# = Boja (smeđe) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2), (x-1), (x + 1)) = boja (zeleno) ((3 x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) *

Zatim, #rArrcolor (smeđe) ((A + B + C) + 2 x ^ (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) = boja (zeleno) (3 x) *

Imamo sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice # A, B i C #

# A + B + C = 0 # eq1

# -B-3C-3 # EQ2

# A-2B + 2C = 0 # EQ3

Počnite rješavati sustav

EQ2:# -B-3C-3rArr-B = 3 + 3CrArrcolor (crvena) (B = -3-3C) #

Uvrštavanjem # B # u eq1 imamo:

# A + B + C = 0 #

# A-3-3C + C = 0rArrA-3-2C-0rArrcolor (crveno) (A = 3 + 2C) #

Uvrštavanjem #B i C #u eq3 imamo:

# A-2B + 2C = 0 # EQ3

# RArr- (boja (crvena) (3 + 2C)) - 2 (boja (crvena) (- 3-3C)) + 2C = 0 #

# RArr-3-2C + 6 + 6C + 2C = 0 #

# RArr + 3 + 6C = 0 #

# RArr6C = -3 #

#rArrcolor (crvena) (C = -1 / 2), #

#COLOR (crveno) (B = -3-3C) = - 3-3color (crvena) (- 1/2) = - 3 + _3 / 2 #

#COLOR (crveno) (B = -3/2 #

#COLOR (crveno) (A = 3 + 2C) = 3 + 2 (-1/2) = 3-1 #

#COLOR (crveno) (A = 2) #

Zamijenimo vrijednosti:

#COLOR (zeleno) ((3 x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) = boja (smeđe) (boja (crvena) 2 / (x-2) + (boja (crvena) (- 3 / 2)) / (x-1), + boja (crvena) ((- 1/2)) / (x + 1)) *

Stoga, # (3 x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) *