Broj 90 ^ 9 ima 1900 različitih pozitivnih integralnih djelitelja. Koliko je od tih kvadrata cijelih brojeva?

Odgovor:

Wow - Mogu odgovoriti na vlastito pitanje.

Obrazloženje:

Ispada da je pristup kombinacija kombinatorike i teorije brojeva. Počinjemo s faktoringom #90^9# u svoje osnovne čimbenike:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

Trik ovdje je shvatiti kako pronaći kvadrate cijelih brojeva, što je relativno jednostavno. Kvadratiri cijelih brojeva mogu se generirati na različite načine od ove faktorizacije:

#5^9*3^18*2^9#

To možemo vidjeti #5^0#, na primjer, je kvadrat cijelog broja i djelitelja od #90^9#; također, #5^2#, #5^4#,#5^6#, i #5^8# svi ispunjavaju ove uvjete. Stoga imamo 5 mogućih načina za konfiguriranje djelitelja #90^9# to je kvadrat cijelog broja, koristeći samo 5s.

Isto obrazloženje vrijedi i za #3^18# i #2^9#, Svaka ravnomjerna snaga ovih početnih faktora - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (ukupno 10) za 3 i 0, 2, 4, 6, 8 (ukupno 5) za 2 - je savršen trg koji je djelitelj #90^9#, Osim toga, bilo koju kombinaciju od ovih premijera divisors koji imaju čak i moći također zadovoljava uvjete. Na primjer, #(2^2*5^2)^2# je kvadrat cijelog broja, kao što je #(3^8*2^4)^2#; i oboje, sastavljene od divizora #90^9#, također su divisors of #90^9#.

Tako željeni broj kvadrata cijelih brojeva koji su divisors od #90^9# daje se pomoću #5*10*5#, što je umnožavanje mogućih izbora za svaki premijerni faktor (5 za 5, 10 za 3 i 5 za 2). Ovo je jednako #250#, što je točan odgovor.