Što je poluživot (Na ^ 24) ako je istraživački asistent napravio 160 mg radioaktivnog natrija (Na ^ 24) i otkrio da je ostalo samo 20 mg lijevo 45 sati kasnije?

Odgovor:

#color (plava) ("Poluvrijeme je 15 sati.") #

Obrazloženje:

Moramo pronaći jednadžbu forme:

#A (t) = A (0) e ^ (kt) #

Gdje:

#BB (A (t)) = # količina nakon vremena t.

#BB (A (0) = # iznos na početku. t = 0.

# BBK = # faktor rasta / propadanja.

# BBE = # Eulerov broj.

# BBT = # u ovom slučaju sati.

Dobili smo:

#A (0) = 160 #

#A (45) = 20 #

Moramo to riješiti # BBK #:

# 20 = 160e ^ (45k) #

Podijeli sa 160:

# 1/8-e ^ (45k) #

Uzimanje prirodnih logaritama obiju strana:

#ln (1/8) = 45kln (e) #

#ln (e) = 1 #

Stoga:

#ln (1/8) = 45k #

Podjela po 45:

#ln (1/8) / 45-K #

#:.#

#A (t) = 160e ^ (t (ln (1/8) / 45)) *

#A (t) = 160e ^ (t / 45 (ln (1/8)) *

#A (t) = 160 (1/8) ^ (t / 45) *

Budući da je poluvrijeme po definiciji vremensko razdoblje kada imamo polovicu početnog iznosa:

#A (t) = 80 #

Stoga moramo riješiti za:

# 160 * = 80 (1/8) ^ (t / 45) *

# 80/160 = (1/8) ^ (t / 45) *

# 1/2 = (1/8) ^ (t / 45) *

Uzimanje prirodnih logaritama:

#ln (1/2) = t / 45ln (1/8) #

# 45 * (ln (1/2)) / (ln (1/8)) = t = 15 #

Poluvrijeme života je 15 sati.

Odgovor:

15 sati

Obrazloženje:

• Brzi način

Kako se količina tvari koja raspadne prepolovila svaki polu-život (otuda i ime), prepolovljavajući iznos u koracima zahtijeva 3 koraka da se dobije od 160 do 20:

• # 160 do 80 do 40 do 20 #

I #45 = 3 * 15#

Dakle, poluživot je 15 godina.

• Više formalan način

Za poluživot # Tau #, gdje # X (t) # je količina (masa / broj čestica / itd.) koja ostaje u vremenu t:

#X (t) = X_o (1/2) ^ (t / tau) kvadratni broj #

Tako:

#X (0) = X_o, X (tau) = X_o / 2, X (2tau) = X_o / 4, … #

Uključivanje vrijednosti koje su dane u #kvadrat#:

# 20 = 160 * (1/2) ^ (45 / tau) #

#implies (1/2) ^ (45 / tau) = 1/8 qquad qquad = (1/2) ^ 3 #

#implies 45 / tau = 3 podrazumijeva tau = 15 #