Kako ste pronašli granicu od (arctan (x)) / (5x) kako se x približava 0?

Odgovor:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Obrazloženje:

Da biste pronašli to ograničenje, primijetite da i brojnik i imenitelj idu #0# kao #x# pristupi #0#, To znači da bismo dobili neodređeni oblik, tako da možemo primijeniti L'Hospitalsko pravilo.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

Primjenjujući L'Hospitalsko pravilo, uzimamo izvedenicu brojnika i nazivnika, dajući nam

#lim_ (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

To također možemo provjeriti grafičkim prikazom funkcije, kako bismo dobili ideju što #x# pristupi.

Graf #arctan x / (5x) #:

graf {(arctan x) / (5x) -0.4536, 0.482, -0.0653, 0.4025}

Odgovor:

U nastavku je objašnjen duži pristup koji koristi trigonometriju.

Obrazloženje:

Samo u slučaju da se ne slažete s L'Hopitalovim pravilom, ili još niste bili izloženi njemu, drugi pristup rješavanju problema uključuje korištenje definicije arktangentne funkcije.

Sjetite se da ako # Tantheta = x #, onda # Theta = arctanx #; to u suštini znači da je arktangensa obrnuta tangenta. Pomoću ove informacije možemo izgraditi trokut gdje # Tantheta = x # i # Theta = arctanx #:

Iz dijagrama je jasno da # Tantheta = x / 1 x = #, Od # Tantheta = sintheta / costheta #, možemo to izraziti kao:

# Tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Koristeći to plus činjenicu da # Theta = arctanx #, možemo izvršiti zamjene u ograničenju:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sinteta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sinteta / costheta) #

Ovo je ekvivalentno:

#lim_ (theta> 0) 1 / 5x lim_ (theta> 0) theta * lim_ (theta> 0) costheta / sintheta #

# -> 1 / 5x lim_ (theta> 0) theta / sintheta * lim_ (theta> 0) costheta #

Mi to znamo #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; tako #lim_ (x-> 0) 1 / (sintheta / theta) = 1/1 # ili #lim_ (x-> 0) theta / sintheta = 1 #, I od # Cos0 = 1 #, granica se procjenjuje na:

# 1 / 5x lim_ (theta> 0) theta / sintheta * lim_ (theta> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#

Kako ste pronašli granicu od (sin (x)) / (5x) kako se x približava 0?

Ograničenje je 1/5. S obzirom na lim_ (xto0) sinx / (5x) Znamo da je boja (plava) (lim_ (xto0) sinx / (x) = 1 Tako možemo prepisati naše dane kao: lim_ (xto0) [sinx / (x) * 1 / 5] 1/5 * lim_ (xto0) [sinx / (x)] 1/5 * 1 1/5

Kako ste pronašli granicu od (1 / (h + 2) ^ 2 - 1/4) / h kako se h približava 0?

Prvo moramo manipulirati izrazom tako da ga stavimo u prikladniji oblik. Radimo na izrazu (1 / (h + 2) ^ 2 -1/4) / h = ((4- (h + 2) ^ 2) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = ((4- (h ^ 2 + 4h + 4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (((4-h ^ 2-4h-4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (- h ^ 2-4h) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (h (-h- 4)) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (-h-4) / (4 (h + 2) ^ 2) Uzimajući sada granice kada h-> 0 imamo: lim_ (h-> 0) ) (- h-4) / (4 (h + 2) ^ 2) = (-4) / 16 = -1 / 4

Kako ste pronašli granicu od (sin (7 x)) / (tan (4 x)) kako se x približava 0?

Neka f (x) = sin (7x) / tan (4x) implicira f (x) = sin (7x) / (sin (4x) / cos (4x)) implicira f (x) = sin (7x) / sin (4x) * cos (4x) podrazumijeva f '(x) = lim_ (x do 0) {sin (7x) / sin (4x) * cos (4x)} implicira f' (x) = lim_ (x do 0) {(7 * sin (7x) / (7x)) / (4 * sin (4x) / (4x)) * cos (4x)} podrazumijeva f '(x) = 7 / 4lim_ (x do 0) { (sin (7x) / (7x)) / (sin (4x) / (4x)) * cos (4x)} = 7/4 {lim_ (x do 0) sin (7x) / (7x)) / (lim_ (x do 0) sin (4x) / (4x)) * lim_ (x do 0) cos (4x) = 7/4 * 1/1 * cos (4 * 0) = 7/4 * cos0 = 7/4 * 1 = 7/4