Pokažite da je put koji se nalazi u sjecištu tri međusobno okomita tangenta ravnine na elipsoidnu sjekiru ^ 2 + pomoću ^ 2 + cz ^ 2 = 1 kugla s istim središtem kao i elipsoid.

Odgovor:

Pogledaj ispod.

Obrazloženje:

zvanje # E> f (x, y, z) = x ^ 2 + 2 + po ^ cz ^ 2-1 = 0 #

Ako #p_i = (x_i, y_i, z_i) u E # zatim

# Ax_ix + by_iy + cz_iz = 1 # je ravnina tangenta na # E # jer ima zajedničku točku i #vec n_i = (ax_i, by_i, cz_i) # je normalno # E #

pustiti # Pi-> alfa x + beta y + gama z = delta # biti opća tangenta na # E # zatim

# {(x_i = alfa / (delta)), (y_i = beta / (bdelta)), (z_i = gama / (c delta)):} #

ali

# Ax_i ^ 2 + 2 + by_i ^ cz_i ^ 2-1 # tako

# A ^ 2 / a + p ^ 2 / b + y ^ 2 / c = delta ^ 2 # i jednadžba generičke tangentne ravnine je

#alpha x + beta y + gama z = pmsqrt (alfa ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gama ^ 2 / c) #

Sada su dane tri ortogonalne ravnine

# Pi_i-> alpha_i x + beta_i y + gamma_i z = delta_i #

i poziv #vec v_i = (alpha_i, beta_i, gamma_i) # i stvaranje

#V = ((vec v_1), (vec v_2), (vec v_3)) # možemo odabrati

#V cdot V ^ T = I_3 #

i kao posljedica toga

# V ^ Tcdot V = I_3 #

onda smo i mi

# {(sum_i alpha_i ^ 2 = 1), (sum_i beta_i ^ 2 = 1), (sum_i gamma_i ^ 2 = 1), (sum_i alpha_i beta_i = 0), (sum_i alpha_i gamma_i = 0), (sum_i beta_i gamma_i = 0)} #

Sada dodajete #sum_i (alpha_i x + beta_iy + gamma_iz) ^ 2 # imamo

# x ^ 2sum_i alpha_i ^ 2 + y ^ 2sum_i beta_i ^ 2 + z ^ 2sum_i gamma_i ^ 2 + 2 (xy sum (alpha_i beta_i) + xzsum (alpha_i gamma_i) + suma (beta_i gamma_i)) = sum_i delta_i ^ 2 #

i konačno

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = sum_i delta_i ^ 2 #

ali #sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

tako

# X ^ 2 + y + z ^ 2 ^ 2 = 1 / a + 1 / b + 1 / C #

koji je put praćen točkom sjecišta tri međusobno okomite ravnine tangente na elipsoid.

Priložena je čestica za elipsoid

# X ^ 2 + 2 + 2y ^ 3Z ^ 2-1 #