U_1, u_2, u_3, ... nalaze se u geometrijskoj progresiji (GP). Uobičajeni omjer pojmova u nizu je K. Sada određuje zbroj nizova u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) u obliku K i u_1?

Odgovor:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #

Obrazloženje:

Opći pojam geometrijske progresije može se napisati:

#a_k = a r ^ (k-1) #

gdje # S # je početni pojam i # R # zajednički omjer.

Zbroj na # # N izrazi su dani formulom:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#COLOR (bijeli) () #

Uz informacije dane u pitanju, opća formula za # U_k # može se napisati:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

Imajte na umu da:

#u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

Tako:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

# boja (bijela) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) #

# boja (bijela) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n a r ^ (k-1) "" # gdje # A = u_1 ^ 2K # i #r = K ^ 2 #

# boja (bijela) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (bijelo) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #