Int_2 ^ 3 (2x + 1) / (x ^ 3 - 5x ^ 2 + 4x) dx?

Odgovor:

#-1.11164#

Obrazloženje:

# "Ovo je integral racionalne funkcije."

# "Standardna procedura se dijeli u djelomičnim frakcijama."

# "Prvo tražimo nule u nazivniku:" #

# x ^ 3 - 5 x ^ 2 + 4 x = 0 #

# => x (x - 1) (x - 4) = 0 #

# => x = 0, 1 ili 4 #

# "Stoga smo podijeljeni u djelomične frakcije:" #

# (2x + 1) / (x ^ 3-5x ^ 2 + 4x) = A / x + B / (x-1) + C / (x-4) #

# => 2x + 1 = A (x-1) (x-4) + B x (x-4) + C x (x-1) #

# => A + B + C = 0, -5 A - 4 B - C = 2, 4A = 1 #

# => A = 1/4, B = -1, C = 3/4 #

# "Dakle, imamo" #

# (1/4) int {dx} / x - int {dx} / (x-1) + (3/4) int {dx} / (x-4) #

# = (1/4) ln (| x |) - ln (| x-1 |) + (3/4) ln (| x-4 |) + C #

# "Sada procjenjujemo između 2 i 3:" # #

# = (1/4) ln (3) - ln (2) + otkazati ((3/4) ln (1)) - (1/4) ln (2) + otkazati (ln (1)) - (3 / 4) ln (2) #

# = (1/4) ln (3) - 2 ln (2) #

#= -1.11164#

Koje su sve vrijednosti za k za koje int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Pogledaj ispod. int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) i k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) ali k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) i k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) pa k ^ 6 -2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) ili {(k + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} konačno stvarne vrijednosti k = {-2,2} kompleksne vrijednosti k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3}

Kako riješiti to? Int_2 ^ 85-xdx =?

= 9 int_2 ^ 8 | 5-x | dx = int_2 ^ 5 (5-x) dx + int_5 ^ 8 (x-5) dx = [5x - x ^ 2/2 + C1] _2 ^ 5 + [x ^ 2/2 - 5x + C2] _5 ^ 8 = 12,5 + C1 - 8 - C1 - 8 + C2 + 12,5 - C2 = 9 "U prvom koraku samo primjenjujemo definiciju | ... |:" | x | = {(-x, "," x <= 0), (x, "," x> = 0):} "Dakle" | 5 - x | = {(x - 5, "," 5 - x <= 0), (5 - x, "," 5 - x> = 0):} = {(x - 5, "," x> = 5) , (5 - x, "," x <= 5):} "Stoga grani ~ ni slu ~ aj x = 5 dijeli interval integracije na dva dijela: [2, 5] i [5, 8]."