Int_2 ^ 3 (2x + 1) / (x ^ 3 - 5x ^ 2 + 4x) dx?

Odgovor:

#-1.11164#

Obrazloženje:

# "Ovo je integral racionalne funkcije."

# "Standardna procedura se dijeli u djelomičnim frakcijama."

# "Prvo tražimo nule u nazivniku:" #

# x ^ 3 - 5 x ^ 2 + 4 x = 0 #

# => x (x - 1) (x - 4) = 0 #

# => x = 0, 1 ili 4 #

# "Stoga smo podijeljeni u djelomične frakcije:" #

# (2x + 1) / (x ^ 3-5x ^ 2 + 4x) = A / x + B / (x-1) + C / (x-4) #

# => 2x + 1 = A (x-1) (x-4) + B x (x-4) + C x (x-1) #

# => A + B + C = 0, -5 A - 4 B - C = 2, 4A = 1 #

# => A = 1/4, B = -1, C = 3/4 #

# "Dakle, imamo" #

# (1/4) int {dx} / x - int {dx} / (x-1) + (3/4) int {dx} / (x-4) #

# = (1/4) ln (| x |) - ln (| x-1 |) + (3/4) ln (| x-4 |) + C #

# "Sada procjenjujemo između 2 i 3:" # #

# = (1/4) ln (3) - ln (2) + otkazati ((3/4) ln (1)) - (1/4) ln (2) + otkazati (ln (1)) - (3 / 4) ln (2) #

# = (1/4) ln (3) - 2 ln (2) #

#= -1.11164#