Što je kvadratni korijen od 90?

Odgovor:

#sqrt (90) = 3sqrt (10) ~~ 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #

Obrazloženje:

#sqrt (90) = sqrt (3 ^ 2 * 10) = 3sqrt (10) # je iracionalan broj negdje između #sqrt (81) = 9 # i #sqrt (100) = 10 #.

Zapravo, od #90 = 9 * 10# je forme #N (n + 1) # ima redovito kontinuirano proširenje obrasca # N, bar (2,2n) #:

#sqrt (90) = 9; bar (2,18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18+)…)))))) #

Jedan zabavan način pronalaženja racionalnih aproksimacija je korištenje cjelobrojnog slijeda definiranog linearnom recidivom.

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu s nulama # 19 + 2sqrt (90) * i # 19-2sqrt (90) *:

# 0 = (x-19-2sqrt (90)) (x-19 + 2sqrt (90)) #

#color (bijela) (0) = (x-19) ^ 2- (2sqrt (90)) ^ 2 #

# boja (bijela) (0) = x ^ 2-38x + 361-360 #

# boja (bijela) (0) = x ^ 2-38x + 1 #

Tako:

# x ^ 2 = 38x-1 #

Upotrijebite ovo za izvođenje niza:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 38a_ (n + 1) -a_n):} #

Prvih nekoliko termina ovog niza su:

#0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,…#

Omjer između uzastopnih termina će težiti # 19 + 2sqrt (90) *

Stoga:

#sqrt (90) ~~ 1/2 (2080805 / 54796-19) = 1/2 (1039681/54796) = 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #