Kako koristiti prvi derivativni test za određivanje lokalnih ekstrema y = sin x cos x?

Odgovor:

Ekstremi za # Y = sin (x) cos (x) # su

# X = pi / 4 + NPI / 2 #

s # # N relativni cijeli broj

Obrazloženje:

Biti #F (x) * funkcija koja predstavlja varijaciju # Y # s repsect na #x#.

Biti #F "(x) * derivat od #F (x) *.

#fa)# je nagib #F (x) * krivulja na # x = a # točka.

Kada je nagib pozitivan, krivulja se povećava.

Kada je nagib negativan, krivulja se smanjuje.

Kada je nagib nula, krivulja ostaje na istoj vrijednosti.

Kada krivulja dosegne ekstrem, ona će prestati povećavati / smanjivati i početi padati / povećavati. Drugim riječima, nagib će ići od pozitivnog do negativnog ili negativnog na pozitivno prolazan od nulte vrijednosti.

Stoga, ako tražite ekstreme funkcije, trebate potražiti null vrijednosti njegovih izvedenica.

N.B. Postoji situacija u kojoj je derivat nula, ali krivulja ne doseže ekstrem: to se naziva točka prevoj. krivulja će trenutačno prestati povećavati / smanjivati, a zatim nastaviti njegovo povećanje / smanjenje. Stoga biste trebali provjeriti mijenja li se znak nagiba oko null vrijednosti.

Primjer: #F (x) = sin (x) cos (x) = y #

#F "(x) = (dsin (x)) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (dcos (x)) / dx #

# = Cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (x)) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) *

Sada kada imamo formulu za #F "(x) *, tražit ćemo njegove nične vrijednosti:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x) #

Rješenja su # Pi / 4 + NPI / 2 # s # # N relativni cijeli broj.

Odgovor:

Čak i ako planiramo upotrijebiti prvi derivativni test, vrijedi to primijetiti #y = 1/2 sin (2x) #.

Obrazloženje:

Nakon što smo napravili to opažanje, zapravo ne trebamo računati da bismo pronašli ekstreme.

Možemo se osloniti na naše poznavanje trigonometrije i grafova sinusoidnih funkcija

Maksimalna vrijednost (od 1/2) pojavit će se kada # 2x = pi / 2 + 2pik # ili kada #x = pi / 4 + pik # za # K # cijeli broj.

Minimalno se pojavljuje na #x = 3pi / 4 + pik # za # K # cijeli broj.

Možemo koristiti izvedenicu, ali je ne trebamo.

Korištenje izvedenice

Nakon prepisivanja # Y #, to možemo brzo vidjeti #y '= cos (2x) #

Dakle, kritični brojevi za # Y # su # 2x = pi / 2 + 2pik # i # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (kada je kosinus #0#) ili

# x = pi / 4 + pik # i # x = (3pi) / 4 + pik #

Provjeravam znak od #y '= cos (2x) #, u prvom skupu kritičnih brojeva i minimalnih vrijednosti u drugom ćemo pronaći maksimalne vrijednosti.