Ljubazno riješite ovo? koja je opcija ispravna?

To se lako vidi kao neupotrebljivo elementarnim sredstvima, pa sam ga riješio brojčano i dobio:

Ocjenjivao sam integral za #n = 1, 1.5, 2,.,,, 9.5, 10, 25, 50, 75, 100, Do tada je to jasno dopiralo #0.5#.

Odgovor:

Pogledaj ispod.

Obrazloženje:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

ili

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

Sada uz pretpostavku da je jedan od odgovora istinit, najprirodniji je četvrti 4)

BILJEŠKA

za #x u 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

Odgovor:

#1/2#

Obrazloženje:

Kao što je već prikazano u prethodnom rješenju, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

postoji i ograničeno je:

# 1/2 le I_n <1 #

Sada je integracija po dijelovima donesena

# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n puta (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

Od sada # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # u #(0,1)#

#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2)) #

Od #lim_ (n do oo) I_n # postoji, imamo

#lim_ (n do oo) J_n = lim_ (n do oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n do oo) 2 / (n + 2) puta lim_ (n do oo) I_ (n + 2) = 0 #

Stoga

# lim_ (n do oo) I_n = 1/2 #