Koji je interval konvergencije sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] ^ n? A koji je zbroj u x = 3?

$Koji je interval konvergencije sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] ^ n? A koji je zbroj u x = 3?$

Odgovor:

# - oo, -4 "U" 5, oo "je interval konvergencije za x" #

# "x = 3 nije u intervalu konvergencije, tako da je suma za x = 3" oo #

Obrazloženje:

# "Tretirajte sumu kao što bi bila geometrijska serija zamjenom" # #

# "z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) #

# "Onda imamo" # #

#sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "za" | z | <1 #

# "Dakle, interval konvergencije je" #

# -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 #

# => 1/2 <(x + 1) / (x-2) <2 #

# => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "ILI" #

# (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negativno)" #

# "Pozitivni slučaj:" #

# => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) #

# => 0 <x + 4 <3 (x-2) #

# => -4 <x <3x-10 #

# => x> -4 i x> 5 #

# => x> 5 #

# "Negativni slučaj:" #

# -4> x> 3x-10 #

# => x <-4 i x <5 #

# => x <-4 #

# "Drugi dio:" x = 3 => z = 2> 1 => "zbroj je" oo #

Poznavanje formule za zbroj N cijelih brojeva a) što je zbroj prvih N uzastopnih kvadratnih brojeva, Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots + (N-1) ) ^ 2 + N ^ 2? b) Zbroj prvih N uzastopnih prirodnih brojeva kocke Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 3?

Za S_k (n) = sum_ {i = 0} ^ ni ^ k S_1 (n) = (n (n + 1)) / 2 S_2 (n) = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n) ) S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 Imamo sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 0 = 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 rješavanje za sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n + 1) ^ 3/3 (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ ni, ali sum_ {i = 0} ^ ni = ((n + 1) n) / 2 tako sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n) +1) ^ 3 / 3- (n +

Koji je interval konvergencije suma {n = 0} ^ {infty} (cos x) ^ n?

Pogledaj ispod. Koristeći polinomski identitet (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) imamo za abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x), dakle, za x ne k pi, k u ZZ imamo sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x)

Koji je interval konvergencije suma {n = 0} ^ {oo} (frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

X u (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Možemo vidjeti da je sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n je geometrijska serija s omjerom r = 1 / (x (1-x)). Sada znamo da se geometrijske serije konvergiraju kada je apsolutna vrijednost omjera manja od 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Dakle, moramo riješiti ovu nejednakost: 1 / (x (1-x)) <1 i 1 / (x (1-x))> -1 Počnimo s prvim: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x) )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Lako možemo dokazati da je numerator uvijek pozitivan, a nazivnik negetive u interval x u (-oo, 0) U (1, oo). Dakle, ovo je rješenje za