Koje su asimptote i rupe, ako ih ima, od f (x) = xsin (1 / x)?

Odgovor:

Pogledajte dolje.

Obrazloženje:

Pa, očito je rupa # X = 0 #, budući da je podjela #0# nije moguće.

Možemo grafizirati funkciju:

graf {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Nema drugih asimptota ili rupa.

Odgovor:

#F (x) * ima rupu (izmjenjivi diskontinuitet) na # X = 0 #.

Također ima i horizontalnu asimptotu # Y = 1 #.

Ona nema vertikalne ili nagnute asimptote.

Obrazloženje:

S obzirom na:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Koristit ću nekoliko svojstava #sin (t) #, naime:

• #abs (sin t) <= 1 "" # za sve stvarne vrijednosti # T #.

• #lim_ (-> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # za sve vrijednosti # T #.

Prvo zapamtite to #F (x) * je parna funkcija:

#f (-x) = (-x) sin (1 / (- x)) = (-x) (- sin (1 / x)) = x sin (1 / x) = f (x) #

Pronašli smo:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

Tako:

# 0 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

Budući da je ovo #0#, kao i #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

Također, od #F (x) * je čak:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

Zapamtite to #F (0) # je nedefiniran, jer uključuje podjelu prema #0#, ali postoje i lijeve i desne granice koje se slažu # X = 0 #, tako da tamo ima rupu (izmjenjivi diskontinuitet).

Također nalazimo:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (tt> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

Slično:

#lim_ (x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (-> 0 - -) sin (t) / t = 1 #

Tako #F (x) * ima horizontalnu asimptotu # Y = 1 #

grafikon {x sin (1 / x) -2.5, 2.5, -1.25, 1.25}