Ispitajte f za konkavnost?

Odgovor:

# F # je konveksan u # RR #

Obrazloženje:

Mislim da je riješeno.

# F # je 2 puta diferencirajući u. t # RR # tako # F # i # F '# su kontinuirani # RR #

Imamo # (F (x)) ^ 3 + 3f '(x) = x + e ^ cosx + x ^ 3 + 2x + 7 #

Razlikujemo oba dijela

# 3 * (f (x)) ^ 2f '(x) + 3f' (x) = x e ^-sinx + 3x ^ 2 + 2 # #<=>#

# 3f '(X) ((f (x)) ^ 2 + 1) = E ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 #

#F "(x) ^ 2> = 0 # tako #F "(x) ^ 2 + 1> 0 #

#<=># #F '(x) = (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((f (x)) ^ 2 + 1)> 0) #

Trebamo znak brojnika kako bismo razmotrili novu funkciju

#G (x) = x e ^-sinx + 3x ^ 2 + 2 # , #x##u## RR #

#G "(x) = x e ^-cosx + 6x #

Mi to primjećujemo #G '(0) = 0-e ^ cos0 + 6 * 0 = 1-1 + 0 = 0 #

Za # x = π # #=># #G '(π) = e ^ π-cosπ + 6π-e ^ π + 1 + 6π> 0 #

Za # X = -π # #G '(- π) = e ^ (- π) -cos (-π) -6π = 1 / e ^ π + cosπ-6π = 1 / e ^ π-1-6π <0 #

Konačno smo dobili ovaj stol koji pokazuje monotoniju # G #

Trebao # I_1 = (- oo, 0 # i # I_2 = 0, + oo) #

#G (I_1) = g ((- oo, 0) = g (0), lim_ (xrarr-oo) g (x)) = 3 + oo) #

#G (I_2) = g (0, + oo)) = g (0), lim_ (xrarr + oo) g (x)) = 3 + oo) #

jer

#lim_ (xrarr-oo) g (x) = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) *

# | Sinx | <= 1 # #<=># # -1 '= - sinx <1 # #<=>#

# E ^ x + 3x ^ 2 + 2-1 <e ^ x + 3x ^ 2 + 2-sinx <e ^ x + 3x ^ 2 + 2 + 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=> #

# E ^ x + 3x ^ 2 + 1 <g (x) <e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Koristimo teorem o istiskivanju / sendviču koji imamo

#lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) + = oo = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 3 x) #

Stoga, #lim_ (xrarr-oo) g (x) = + oo #

#lim_ (xrarr + oo) g (x) = lim_ (xrarr + oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) *

Na isti način na koji završavamo

# E ^ x + 3x ^ 2 + 1 <g (x) <e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Međutim, #lim_ (xrarr + oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) + = oo ^ e = x + 3x ^ 2 + 3 #

Stoga, #lim_ (xrarr + oo) g (x) = + oo #

Raspon # G # bit će:

# R_g = g (D_g) = g (I_1) UUG (I_2) = 3 + oo) #

# 0! InR_g = 3 + oo) # tako # G # nema korijena # RR #

# G # je kontinuirano u # RR # i nema rješenja. Stoga, # G # čuva se prijava # RR #

To znaci

# {(g (x)> 0 "," xεRR), (g (x) <0 "," xεRR):} #

Tako, #G (π) = e ^ π-sinπ + 3π ^ 2 + 2 = e ^ π + 3π ^ 2 + 2> 0 #

Kao rezultat #G (x)> 0 #, #x##u## RR #

I #F '' (x)> 0 #, #x##u## RR #

#-># # F # je konveksan u # RR #

Odgovor:

Pogledaj ispod.

Obrazloženje:

dan #y = f (x) # polumjer zakrivljenosti krivulje daje

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') # tako dano

# (f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7 # imamo

# 3 (f ') ^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # ili

#f '' (1+ (f ') ^ 2) = 1/3 (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # ili

# 1 / (f '' (1+ (f ') ^ 2),) = 3 / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) * ili

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') = (3 (1+ (f') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) *

sada analiziramo #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # imamo

#min g (x) = 0 # za #x u RR # tako #g (x) ge 0 # i zatim zakrivljenost

#rho = (3 (1+ (f ') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # ne mijenja znak pa zaključujemo to #F (x) * epigraf je konveksan # RR #

Što je konkavnost linearne funkcije?

Evo pristupa ... Da vidimo ... Linearni je u obliku f (x) = mx + b gdje je m nagib, x je varijabla, a b je y-presjek. (Znali ste da!) Možemo pronaći konkavnost funkcije pronalazeći svoj dvostruki derivat (f '' (x)) i gdje je jednak nuli. Učinimo to onda! f (x) = mx + b => f '(x) = m * 1 * x ^ (1-1) +0 => f' (x) = m * 1 => f '(x) = m = > f '' (x) = 0 To nam govori da se linearne funkcije moraju krivulje u svakoj danoj točki. Znajući da je graf linearnih funkcija ravna linija, to nema smisla, zar ne? Stoga na grafovima linearnih funkcija nema točke konkavnosti.