Polumjer kružnice upisane u jednakostraničan trokut je 2. Koji je opseg trokuta?

Odgovor:

Perimetar je jednak # 12sqrt (3) *

Obrazloženje:

Postoji mnogo načina za rješavanje ovog problema.

Ovdje je jedan od njih.

Središte kruga upisano u trokut leži na sjecištu simetrala njegovih kutova. Za jednakostraničan trokut to je ista točka gdje se i njezine nadmorske visine i medijani sijeku.

Svaki medijan je podijeljen točkom sjecišta s drugim medijanima u proporciji #1:2#, Prema tome, simetralna sredina, visina i kut jednakostraničnog trokuta jednaki su

#2+2+2 = 6#

Sada možemo upotrijebiti Pitagorin teorem da bismo pronašli stranu ovog trokuta ako znamo njegovu simetralu nadmorske visine / medijan / kut.

Ako je neka strana #x#, iz Pitagorina teorema

# x ^ 2 - (x / 2) ^ 2 = 6 ^ 2 #

Od ovoga:

# 3x ^ 2 = 144 #

#sqrt (3) X = 12 #

#x = 12 / sqrt (3) = 4sqrt (3) #

Opseg je jednak trima stranama:

# 3x = 12sqrt (3) #.

Odgovor:

Perimetar je jednak # 12sqrt (3) *

Obrazloženje:

Alternativna metoda je niže.

Pretpostavimo da je naš jednakostraničan trokut #Delta ABC # i to je središte upisane kružnice # O #.

Nacrtajte simetrala medijan / altitude.angle iz vrha # S # kroz točku # O # dok se ne siječe #PRIJE KRISTA# na mjestu # M #, Očito, # OM-2 #.

Razmotrite trokut #Delta OBM #.

to je pravo od #OM_ | _BM #.

Kut # / _ OBM = 30 ^ o # od # BO # je simetrala kuta od # / _ ABC #.

Strana # BM # je pola strane #PRIJE KRISTA# od # AM # je medijan.

Sada možemo naći # OB # kao hipotenuza u pravokutnom trokutu s jednakim oštrim kutom # 30 ^ O # a kathetus nasuprot njemu jednak #2#, Ta hipotenuza je dvostruko dulja od ovog katetusa #4#.

Nakon hipotenuze # OB # i cathetus # OM #, pronađi drugi kathetus # BM # by Pitagorejska teorema:

# BM ^ 2 = OB ^ 2 - OM ^ 2 = 16-4 = 12 #

Stoga,

# BM = sqrt (12) = 2sqrt (3) *

#BC = 2 * BM = 4sqrt (3) #

Perimetar je

# 3 * BC = 12sqrt (3) #