Ako 3x ^ 2-4x + 1 ima nule alfa i beta, koji kvadratični ima nule alfa ^ 2 / beta i beta ^ 2 / alfa?

Odgovor:

Pronaći #alfa# i #beta# prvi.

Obrazloženje:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

Lijevi čimbenici, tako da imamo

# (3x - 1) (x - 1) = 0 #.

Bez gubitka općenitosti, korijeni su #alpha = 1 # i #beta = 1/3 #.

# alfa ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # i #(1/3)^2/1= 1/9#.

Polinom s racionalnim koeficijentima koji imaju te korijene je

#f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

Ako želimo cjelobrojne koeficijente, pomnožimo s 9 da dobijemo:

#g (x) = 9 (x - 3) (x - 1/9) = (x - 3) (9x - 1) #

Možemo to umnožiti ako želimo:

#g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 #

BILJEŠKA: Općenitije, mogli bismo pisati

#f (x) = (x - alfa ^ 2 / beta) (x - beta ^ 2 / alfa) #

# = x ^ 2 - ((alfa ^ 3 + beta ^ 3) / (alphabeta)) x + alfabeta #

Odgovor:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Obrazloženje:

Imajte na umu da:

# (x-alfa) (x-beta) = x ^ 2- (alfa + beta) x + alfa beta #

# (x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa) = x ^ 2- (alfa ^ 2 / beta + beta ^ 2 / alfa) x + (alfa ^ 2 / beta) (beta ^ 2 / alfa)#

# boja (bijela) ((x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa) = x ^ 2- (alfa ^ 3 + beta ^ 3) / (alfa beta) x + alfa beta #

# boja (bijela) ((x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa)) = x ^ 2 - ((alfa + beta) ^ 3-3alfa beta (alfa + beta)) beta) x + alfa beta #

U našem primjeru, dijeljenje # 3x ^ 2-4 * +1 # po #3# imamo:

# {(alfa + beta = 4/3), (alfa beta = 1/3):} #

Tako:

# (alfa + beta) ^ 3-3alfa beta (alfa + beta) / (alfa beta) = ((4/3) ^ 3-3 (1/3) (4/3)) / (1/3)) = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

Tako se željeni polinom može napisati:

# X ^ 2-28 / 9x + 1/3 #

Pomnožite pomoću #9# dobiti cjelobrojne koeficijente:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Odgovor:

Predloženo rješenje u nastavku;

Obrazloženje:

# 3x²-4x + 1 #

Bilješka: # S # je alfa, # B # je beta

#a + b = 4/3 #

#ab = 1/3 #

Za formiranje jednadžbe nalazimo sumu i proizvode korijena.

Za sumu

# (a²) / b + (b²) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab) #

Ali; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ³-3ab (a + b) #

Stoga;

# ((A + b) ³-R3NB (a + b)) / (ab) #

Stoga zamjenjujemo vrijednosti..

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) -cancel3 (1 / cancel3) (4/3)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / cancel27_9) xx (otkazati3 / 1) #

#28/9#

Dakle, zbroj je #28/9#

Za proizvode

# ((A²) / b) ((b²) / a) #

# ((Ab) ²) / (ab) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 div 1/3 #

# 1/9 xx 3/1 #

# 1 / cancel9_3 xx cancel3 / 1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

Dakle, proizvod je #1/3#

# X²- (a + b) + x ab #

# X²- (28/9) x + 1/3 #

# 9x²-28x + 3 #

Umnožavanje putem #9#

Nadam se da ovo pomaže!