Polumjeri dvaju koncentričnih krugova su 16 cm i 10 cm. AB je promjer većeg kruga. BD je tangenta na manji krug koji ga dodiruje na D. Koja je duljina AD?

Odgovor:

#bar (AD) = 23.5797 #

Obrazloženje:

Usvajanje podrijetla #(0,0)# kao zajednički centar za # C_i # i # C_e # i poziv # R_i = 10 # i # R_e = 16 # točka tangencije # P_0 = (x_0, y_0) # nalazi se na raskrižju #C_i nn C_0 # gdje

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

ovdje # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Rješavanje za #C_i nn C_0 # imamo

# {(X + y ^ 2 ^ 2-r_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2-r_e ^ 2-r_i ^ 2)} #

Oduzimanje prvog od druge jednadžbe

# -2xr_e + r_e ^ 2-r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # tako

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # i # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Konačno tražena udaljenost je

#bar (AD) = sqrt ((+ r_e x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) *

ili

#bar (AD) = 23.5797 #

Obrazloženje:

Ako #bar (BD) # je tangenta na # C_i # zatim #hat (ODB) = pi / 2 # tako da možemo primijeniti pitagore:

#bar (OD) ^ 2 bar + (DB) ^ 2 bar = (OB) ^ 2 # utvrđivanje # R_0 #

# r_0 ^ 2 = traka (OB) ^ 2 trake (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Točka # D # koordinate, zove # (X_0, y_0) # treba izračunati prije izračunavanja tražene udaljenosti #bar (AD) #

Postoji mnogo načina za to. Alternativna metoda je

# Y_0 = bara (BD) grijeh (šešir (OBD)) # ali #sin (šešir (OBD)) = bar (OD) / bar (OB) #

zatim

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # i

# X_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) *

Prema danim podacima nacrtana je gornja slika.

O je zajedničko središte dvaju koncentričnih krugova

#AB -> "promjer većeg kruga" #

# AO = OB -> "radijus većeg kruga" = 16 cm #

#DO -> "radijus manjeg kruga" = 10 cm #

#BD -> "tangenta na manji krug" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

pustiti # / _ DOB-theta => / _ AOD = (180-theta) #

U #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Primjena kosinusnog prava u #Delta ADO # dobivamo

# AD ^ 2-AO ^ 2 ^ + DO 2-2AO * projektu Docos / _AOD #

# => AD ^ 2-AO ^ 2 ^ + DO 2-2AO * projektu Docos (180 theta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2ao * DOcostheta #

# => AD ^ 2-AO ^ 2 + 2 + NE ^ * 2ao DOxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 2 + 10 ^ 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23.58cm #