Koje su asimptote i uklonjivi diskontinuiteti f (x) = (x ^ 3-x + 2) / ((x-x ^ 2) (1-x ^ 2)?

Odgovor:

Nema ih.

Obrazloženje:

Uklonjivi diskontinuiteti postoje kada se funkcija ne može procijeniti u određenoj točki, ali granice lijeve i desne strane jednake su u toj točki. Jedan takav primjer je funkcija x / x. Ova funkcija je jasno 1 (gotovo) svugdje, ali je ne možemo vrednovati na 0 jer je 0/0 nedefinirana. Međutim, lijevo i desno ograničenje na 0 su obje 1, tako da možemo "ukloniti" diskontinuitet i dati funkciji vrijednost 1 pri x = 0.

Kada je vaša funkcija definirana frakcijom polinoma, uklanjanje diskontinuiteta je sinonim za faktore poništavanja. Ako imate vremena i znate kako razlikovati polinome, potičem vas da to sami dokažete.

Faktoring vašeg polinoma je lukav. Međutim, postoji jednostavan način za provjeru gdje su diskontinuiteti. Prvo, pronađite sve x tako da nazivnik bude 0. Da biste to učinili, možete imenovati nazivnik na sljedeći način:

# (x-x ^ 2) (1-x ^ 2) = x (1-x) (1-x) (1 + x) #

Prvi pojam koji sam faktorizirao povlačenjem zajedničkog faktora x. Drugi izraz je razlika kvadrata, # a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) #.

Ovdje možemo vidjeti nule u nazivniku su x = 0, x = 1, i x = -1.

Bez faktoringa u brojniku možemo provjeriti postoje li nule u polinomu brojnika. Ako to učine, morat ćemo napraviti neke faktoring. Ako ne, onda možemo biti sigurni da nema nikakvih čimbenika koji bi ionako otkazali.

#(0)^3-(0)+2 = 2#

#(1)^3-(1)+2 = 2#

#(-1)^3-(-1)+2 = 2#

U sva tri slučaja dobili smo 2, što nije 0. Tako možemo zaključiti da nijedna nula u nazivniku ne odgovara broju 0 u brojniku, tako da se nijedan od diskontinuiteta ne može ukloniti.

Možete to i sami provjeriti u svom grafičkom softveru po izboru. Naći ćete da se funkcija razlikuje na x = -1, 0 i 1. Ako su diskontinuiteti uklonjivi, trebalo bi izgledati relativno ravnomjerno u području oko diskontinuiteta, umjesto da se divergiraju.