Počnimo s funkcijom bez # M #:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Ova funkcija sigurno ima # X = 0 # kao korijen, budući da smo faktorizirali #x#.
Ostali korijeni su rješenja # X ^ 2-2x + 2 = 0 #, ali ova parabola nema korijena. To znači da izvorni polinom ima samo jedan korijen.
Sada, polinom #p (x) * od neparnog stupnja uvijek ima barem jedno rješenje, jer imate
#lim_ {x u- infty} p (x) = - infty # i #lim_ {x u infty} p (x) = infty #
i #p (x) * je kontinuirano, tako da mora prelaziti #x# osi u nekom trenutku.
Odgovor dolazi iz sljedeća dva rezultata:
- Polinom stupnja # # N je točno # # N složeni korijeni, ali najviše # # N pravi korijeni
- S obzirom na graf #F (x) *, graf od #F (x) + k # ima isti oblik, ali je vertikalno preveden (prema gore ako #K> 0 #, inače dolje).
Počinjemo od toga # X ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, koji ima samo jedan pravi korijen (a time i dva kompleksna korijena) i mi ga transformiramo # X ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #, što znači da ga prevodimo gore ili dolje, tako da ne mijenjamo broj rješenja.
Neki primjeri:
Izvorna funkcija: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
graf {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Prevedi gore: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
graf {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Prevedi dolje: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
graf {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
Kao što možete vidjeti, uvijek postoji jedan korijen
Odgovor:
Pogledaj ispod
Obrazloženje:
Alternativno, možda elegantnije rješenje:
derivat vašeg polinoma je # 3x ^ 2-4 * + 2 #, koja je parabola konkavna bez korijena, i stoga uvijek pozitivna. Tako, # F # je:
- Monotono raste
- #lim_ {x u pm infty} f (x) = h infty #
- # "C" (f) = 3 #
Prve dvije točke to pokazuju # F # ima točno jedan korijen, a treći da su ostala dva korijena složena.
