Odgovor:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Obrazloženje:
pustiti #f (x) = 3ln (5x) + x ^ 3 #
Pretpostavimo da se radi o stvarnim vrijednostima, a time io stvarnom prirodnom logaritmu.
Tada smo prisiljeni #x> 0 # u svrhu da #ln (5x) # definirati.
Za bilo koji #x> 0 # oba su pojma dobro definirana i tako #F (x) * je dobro definirana funkcija s domenom # (0, oo) #.
Zapamtite to # 3ln (5) * i # X ^ 3 # su i strogo monotono raste na ovoj domeni pa je naša funkcija također i jedan na jedan.
Za male pozitivne vrijednosti #x#, uvjet # X ^ 3 # je mali, pozitivan i pojam # 3ln (5x) # je proizvoljno velika i negativna.
Za velike pozitivne vrijednosti #x#, uvjet # 3ln (5x) # je pozitivan i pojam # X ^ 3 # je proizvoljno velika i pozitivna.
Budući da je funkcija također kontinuirana, raspon je # (- oo, oo) #
Dakle, za svaku vrijednost #y u (-oo, oo) # postoji jedinstvena vrijednost #x u (0, oo) # tako da #f (x) = y #.
To određuje našu inverznu funkciju:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
To je #F ^ (- 1) (y) # je vrijednost #x# tako da #f (x) = y #.
Pokazali smo (neformalno) da to postoji, ali za njega ne postoji algebarsko rješenje #x# u smislu # Y #.
Graf #F ^ (- 1) (y) # je graf od #F (x) * odražava se u retku # Y = x #.
U skupu bilješki:
#f = {(x, y) u (0, oo) xx RR: y = 3ln (5x) + x ^ 3} #
#f ^ (- 1) = {(x, y) u RR xx (0, oo): x = 3ln (5y) + y ^ 3} #
