Odgovor:
# {(2 + 2i) ^ 5 (-sqrt {3} + i) ^ 3} / (sqrt {3} + i) ^ 10 #
# = (sqrt {3} -1) / 2 + (sqrt {3} +1) / 2
Obrazloženje:
U drugom odgovoru na ovo pitanje pretpostavio sam da je u ovom pitanju i tu bila pogreška #-3# je trebao biti # -Sqrt {3} #, U komentarima sam uvjeren da to nije slučaj, da je pitanje točno kako je napisano.
Neću ponoviti kako smo odredili
# 2+ 2i = 2 sqrt {2} {cis}
# sqrt {3} + i = 2 {cis} 30 ^ circ #
Ali sada se moramo obratiti # -3 + i # u trigonometrijski oblik. Možemo to učiniti, ali budući da nije jedan od Trigovih omiljenih trokuta, to je malo neugodnije.
# | -3 + i | = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10} #
Nalazimo se u drugom kvadrantu, a glavna vrijednost inverznog tangenta je četvrti kvadrant.
kut (-3 + i) = {Arc} tekst {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ #
# -3 + i = sqrt {10} {{cis} (tekst {tekst}} {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ) #
De Moivre ne funkcionira dobro na ovakvom obrascu
# (-3 + i) ^ 3 = sqrt {10 ^ 3} {cis} (3 (tekst {Arc} tekst {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ)) #
Ali nismo zaglavili. Budući da je eksponent samo #3# to možemo učiniti s formulama trostrukog kuta. Nazovimo konstantni kut koji smo pronašli
#theta = kut (-3 + i) #
De Moivre, # (-3 + i) ^ 3 = (sqrt {10} {cis} theta) ^ 3 = 10sqrt {10} (cos (3 theta) + i sin (3 theta)) #
Znamo
# cos theta = -3 / sqrt {10}, quad sin theta = 1 / sqrt {10} #
#cos (3 theta) = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = 4 (-3 / sqrt {10}) ^ 3 - 3 (- 3 / sqrt {10}) = - (9 sqrt (10)) / 50 #
#sin (3 theta) = 3 sin theta - 4 sin ^ 3 theta = 3 (1 / sqrt {10}) - 4 (1 / sqrt {10}) ^ 3 = (13 sqrt (10)) / 50 #
# (-3 + i) ^ 3 = 10sqrt {10} (sqrt {10} / 50) (-9 + 13 i) = -18 +26 i #
To izgleda kao puno više posla nego samo kubiranje # (- 3 + i): #
# (-3 + i) (- 3 + i) (- 3 + i) = (- 3 + i) (8 -6i) = -18 + 26 i quad sqrt #
U redu, učinimo problem:
# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #
# = {(2 sqrt {2}) {{cis}} ^ ^ ^ ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(2 {{cis}} ^ ^} ^ {10} } #
# = ({2 ^ 5 sqrt {2 ^ 5}} / 2 ^ 10) {{{cis} (5 cdot 45 ^ circ)} / {{{cis} (10 cdot 30 ^ circ)} (- 3 + i) ^ 3 #
# = (sqrt {2} / 8) {{{cis} {225} circ)} / {{cis} (300 ^ circ)} (-3 + i) ^ 3 #
# = (sqrt {2} / 8) {cis} (225 ^ circ - 300) (-3 + i) ^ 3 #
# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) {cis} (- 75 ^ circ) #
Uh, nikad se ne završava. Dobivamo
#cos (-75 ^ circ) = cos 75 ^ circ = cos (45 ^ circ + 30 ^ circ) = sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 - 1/2) = 1/4 (sqrt {6} -sqrt {2}) #
#sin (-75 ^ circ) = - (sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30) = -sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 + 1/2) = - 1/4 ({6} + sqrt {2}) #
# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #
# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) 1/4 ((sqrt {6} -sqrt {2}) - (sqrt {6} + sqrt {2}) i) #
# = {11 + 2 sqrt (3)} / 4 + (11 sqrt (3) - 2) / 4 i #
