Na kojim intervalima je sljedeća jednadžba konkavna, konkavna prema dolje i gdje je točka infleksije (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

Odgovor:

• ako # 0 <x <e ^ (- 15/56) # zatim # F # je konkavni prema dolje;
• ako #x> e ^ (- 15/56) # zatim # F # je konkavni;
• # X = e ^ (- 15/56) # je (pada) točka infleksije

Obrazloženje:

Analizirati konkavnost i točke infleksije dvostruko diferencirane funkcije # F #, možemo proučavati pozitivnost drugog derivata. Zapravo, ako # X_0 # je točka u domeni # F #, onda:

• ako #F '' (x_0)> 0 #, onda # F # je konkavni u susjedstvu # X_0 #;
• ako #F '(x_0) <0 #, onda # F # je konkavni prema dolje u susjedstvu # X_0 #;
• ako #F '(x_0) = 0 # i znak #F '' # na dovoljno malom pravom susjedstvu # X_0 # je suprotno od znaka #F '' # na dovoljno malom lijevom susjedstvu # X_0 #, onda # X = x_0 # naziva se točku infleksije od # F #.

U konkretnom slučaju #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, imamo funkciju čija domena mora biti ograničena na pozitivne reale #RR ^ + #.

Prvi je derivat

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

Drugi derivat je

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56 ln (x) + 15 #

Proučimo pozitivnost #F '(X) *:

• # x ^ 6> 0 ako x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 if ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

Dakle, s obzirom da je domena #RR ^ + #, dobili smo to

• ako # 0 <x <e ^ (- 15/56) # zatim #F '(x) <0 # i # F # je konkavni prema dolje;
• ako #x> e ^ (- 15/56) # zatim #F '' (x)> 0 # i # F # je konkavni;
• ako # X = e ^ (- 15/56) # zatim #F '(x) = 0 #, S obzirom na to s lijeve strane ove točke #F '' # negativan, a desno pozitivan, zaključujemo # X = e ^ (- 15/56) # je (pada) točka infleksije