Kako pretvoriti r = 1 / (4 - costheta) u kartezijanski oblik?

Odgovor:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Obrazloženje:

Hej, Sokratije: Je li stvarno potrebno da nam to kažeš prije 9 minuta? Ne volim da me lažu. Recite nam da je to postavljeno prije dvije godine i da to još nitko nije uspio. Također, što je sa sumnjivo identično formuliranim pitanjima postavljenim s više mjesta? Da ne spominjem Santa Cruz, Sjedinjene Američke Države? Gotovo sigurno ima više od jednog, iako ja čujem onaj u Kaliforniji. Vjerodostojnost i ugled su važni, osobito na mjestu izrade domaćih zadaća. Ne zavaravajte ljude. Kraj.

Prilikom pretvaranja jednadžbi iz polarnih u pravokutne koordinate brutalna sila pravokutna na polarnu zamjenu

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = tekst {arctan2} (y "/," x) quad #

rijetko je najbolji pristup. (Namjerno ovdje naznačujem obrnuti tangent od četiri kvadranta, ali nemojmo se preusmjeriti.)

U idealnom slučaju želimo koristiti polarnu pravokutnu zamjenu, #x = r cos theta #

# y = r sin theta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 #

U redu, pogledajmo pitanje.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

Ove polarne jednadžbe općenito dopuštaju negativne # R #, ali ovdje smo sigurni # R # uvijek je pozitivan.

#r (4 - cos theta) = 1 #

Mislim da su to elipse, što zapravo nije važno, ali nam daje ideju o tome kako se nadamo da će izgledati pravokutni oblik. Želimo težiti za nečim bez kvadratnog korijenja ili arctangenta # R = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} # ima četvrtaste korijene, ali #rcos theta = x # ne, pa se širimo.

# 4r - rcos theta = 1 #

Sada samo zamjenjujemo; učinit ćemo to korakom.

# 4r -x = 1 #

# 4r = x + 1 #

Idemo sada na trg. Znamo #R> 0. #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Ovo je prilično kružna elipsa. (Manja konstanta nego #4# u izvorniku bi dala više ekscentričnu elipsu.) Možemo dovršiti kvadrat da ga stavimo u standardni oblik, ali ostavimo ga ovdje.