# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3) ^ 2-2 (x ^ 3) + 1 # je forme # Y ^ 2-2y +1 # gdje #y = x ^ 3 #.
Ova kvadratna formula u # Y # faktori kako slijedi:
# y ^ 2-2y + 1 = (y-1) (y-1) = (y - 1) ^ 2 #
Tako # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3 - 1) ^ 2 #
# x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
Tako # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
# = (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #.
# X ^ 2 + x + 1 # nema linearnih faktora s realnim koeficijentima. Da biste provjerili ovu obavijest da je u obliku # ax ^ 2 + bx + c #, koji je diskriminantan:
#Delta = b ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 #
Biti negativan, jednadžba # x ^ 2 + x + 1 = 0 # nema pravih korijena.
Jedan od načina provjere odgovora je zamjena vrijednosti za #x# to nije korijen na obje strane i vidi da li ćemo dobiti isti rezultat:
Probati # X = 2 #:
# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1 #
# = 64- (2xx8) +1 = 64-16 + 1 = 49 #
Usporedite:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = (2-1) ^ 2 (2 ^ 2 + 2 + 1) ^ 2 #
#1^2*7^2=49#
Pa to je uspjelo!
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # prilično je lako faktor, jer je savršen kvadrat. Kako ja to znam? To je trinomija u obliku # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #, a svi trinomiji u tom obliku su savršeni kvadrati.
Ovaj trinomij je savršen kvadrat od # (x ^ 3 - 1) #, Da bih provjerio svoj rad, radit ću unazad:
# (x ^ 3 - 1) (x ^ 3 - 1) #
# = x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1 #
# = x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Dakle, ovaj trinomij ima faktore #1#, # x ^ 3 - 1 #, i # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #.
Međutim, kao što mi je ukazano, # (x ^ 3 - 1) # također ima čimbenike. Budući da je binomna forme # a ^ 3 - b ^ 3 #, također se može pisati kao # (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) #.
Tako, # (x ^ 3 - 1) # čimbenika u # (x - 1) # i # (x ^ 2 + x + 1) #, koje su oboje najprikladnije.
Čimbenici # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # su:
#1#
# x-1 #
# x ^ 2 + x + 1 #
# x ^ 3 - 1 #
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Točnije, PRIME faktorizacija od # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # je:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #
