Pitanje # e8044

Odgovor:

#color (plava) (int (1 / (1 + cot x)) dx =) #

# boja (plava) (1/2 * ln ((tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2) -1)) + x / 2 + K) #

Obrazloženje:

Iz danog #int (1 / (1 + cot x)) dx #

Ako je integrand racionalna funkcija trigonometrijskih funkcija, supstitucija # z = tan (x / 2) #, ili njegov ekvivalent

#sin x = (2z) / (1 + z ^ 2) # i #cos x = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) # i

# Dx = (2dz) / (1 + z ^ 2) *

Rješenje:

#int (1 / (1 + cot x)) dx #

#int (1 / (1 + cos x / sin x)) dx #

#int (sin x / (sin x + cos x)) dx #

#int ((2z) / (1 + z ^ 2)) / (((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2))) * ((2dz) / (1 + z ^ 2)) *

Pojednostaviti

#int ((2z) / (1 + z ^ 2)) / (((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2))) * ((2dz) / (1 + z ^ 2)) *

#int (4z) / ((- z ^ 2 + 2z + 1) (z ^ 2 + 1) * dz #

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1) * dz #

U ovom trenutku koristite djelomične frakcije, a zatim ih integrirajte

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz = int ((Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2-2z-1)) dz #

Prvo radimo djelomične frakcije

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = (Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2- 2Z-1) #

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = ((Az + B) (z ^ 2-2z-1) + (Cz + D) (z ^ 2 1)) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) *

Proširite desnu stranu jednadžbe

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = #

# (Az ^ 3-2Az ^ 2-Az + Bz ^ 2-2Bz-B + Cz ^ 3 ^ 2 + dz + Cz + D) / ((Z ^ 2 + 1) (Z ^ 2-2z-1)) #

Postavite jednadžbe

# (Z * 0 ^ 3 + 0 * z ^ 2-4 * z + 0 * 0 ^ z) / ((Z ^ 2 + 1) (Z ^ 2-2z-1)) = #

# ((A + C) + z ^ 3 + (- 2A + B + D) + z ^ 2 + (- A-2B + C) + z + (- B + D) + z ^ 0) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) *

Jednadžbe su

# A + C = 0 #

# 2a + B + D = 0 #

# A-2B + C = -4 #

# -B + D = 0 #

Istodobni rezultati rješenja

# A = 1 # i # B = 1 # i # C = -1 # i # D = 1 #

Sada možemo učiniti integraciju

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz = int ((Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2-2z-1)) dz = int ((z + 1) / (z ^ 2 + 1) + (- z + 1) / (z ^ 2-2z-1)) dz = #

# 1/2 int (2z) / (z ^ 2 + 1) dz + int dz / (z ^ 2 + 1) -1 / 2int (2z-2) / (z ^ 2-2z-1) dz #

# = 1/2 * ln (z ^ 2 + 1) + tan ^ -1 z-1/2 * ln (z ^ 2-2z-1) #

# = 1/2 * ln ((z ^ 2 + 1) / (z ^ 2-2z-1)) + tan ^ -1 z #

Vratit ćemo je u izvornu varijablu #x# koristeći # z = tan (x / 2) # za konačni odgovor.

#color (plava) (int (1 / (1 + cot x)) dx =) #

# boja (plava) (1/2 * ln ((tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2) -1)) + x / 2 + K) #

gdje # K = # stalna integracija

Bog blagoslovio … nadam se da je objašnjenje korisno.