Odgovor:
Početi sa
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - s (xy) #
Zamijenimo sekant kosinusom.
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy) #
Sada uzimamo derivat wrt x na OBE STRANE!
# d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy)) #
Derivat konstante je nula i derivat je linearan!
# 0 = d / dx (x y ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Sada koristite pravilo o proizvodu na samo prva dva pojma koje dobivamo!
# 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Sljedeće puno i puno zabave s lancem! Pogledajte posljednji pojam!
(također rade jednostavne x derivate)
# 0 = {1 * y ^ 2 + x * (d / dy y ^ 2) * dy / dx} + {2x * y + x ^ 2 * d / dy y * dy / dx} - {d / dy e ^ y} {dy / dx} #
# -d / {d cos (xy)} (cos (xy)) ^ (- 1) * d / {d xy} cos (xy) * d / dx {xy} #
Učiniti neke od tih y derivata, xy derivata i derivata cos (xy) također izvršiti pravilo proizvoda i pravilo lanca još jednom u zadnjem dijelu zadnjeg mandata.
# 0 = {y ^ 2 + x * 2 * y * dy / dx} + {2xy + x ^ 2 * 1 * dy / dx} - e ^ y {dy / dx} #
# - (-1) (cos (xy)) ^ (- 2) * - sin (xy) * (dx / dx y + x dy / dy dy / dx) #
Neaten malo i dovršite sve derivate
# 0 = y ^ 2 + 2xy dy / dx + 2xy + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx #
# - (sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) (y + x dy / dx) #
Sada se razdvojite u pojam s # Dx / dy # i bez
# 0 = y ^ 2 + 2xy - y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) + #
# 2xy dy / dx + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy) dy / dx #
Donesite sve bez # Dy / dx # s jedne strane i na sličan način
# y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy = #
# (2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) dy / dx #
Podijelite ipak pronaći # Dy / dx #
# dy / dx = {y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy} / {2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)} #
To je bilo jako dugo!
Obrazloženje:
Otišao sam s vrlo dugim objašnjenjem jednostavnim primjerom jer implicitna diferencijacija može biti lukav i pravilo lanca je vrlo vrlo važno.
Za rješavanje ovog i tri izvedenice specifičnih funkcija trebate koristiti tri velika pravila izračuna.
1) Linearnost izvedenice.
# d / dx (A + B + C + D) = d / dx (A) + d / dx (B) + d / dx (C) + d / dx (D) #
2) Pravilo proizvoda.
# d / dx (f (x) * g (x)) = (f (x)) * d / dx g (x) + (d / dx f (x)) * g (x) #
3) Daleko, najvažniji koncept u implicitnoj diferencijaciji jest
pravilo lanca, Za složene funkcije, funkcije drugih funkcija, #F (u (x)) * imamo, # d / dx (f (u (x))) = d / {du} f (u (x)) du / dx #.
Možete nastaviti s ovim
# d / dx (f (u (y (x)))) = d / {du} f (u) {du} / {dy} {dy} / {dx} #, i na i na i na. Bilješka # Dx / dx = 1 #.
Primjer: Ako imate funkciju neke funkcije #F (u) # gdje # U # je funkcija #x#, odnosno #F (x) = kvadratni korijen (1-x) ^ 2 # (Ovdje #F (u) = kvadratni korijen (u) # i #U (x) = 1 x ^ 2 #.
# d / dx sqrt (1-x ^ 2) = d / dx (1-x ^ 2) ^ {1/2} = (d / {du} (u ^ {1/2})) * (d / dx (1-x ^ 2)) #
# = 1/2 (u ^ {- 1/2}) * (-2x) # podsjetiti # U = (1-x ^ 2) *
# = - x (1-x ^ 2) ^ {- 1/2} = -x / {sqrt (1-x ^ 2} #
Izrazi za određene vrste funkcija.
A) Kako preuzeti derivativne funkcije moći, #f (x) = c x ^ n #.
# d / dx (c * x ^ n) = c * n * x ^ {n-1} #
B) Kako uzeti derivat od # E ^ x #.
# d / dx (e ^ x) = e ^ x # <- dosadno eh?
C) Kako uzeti derivat od # cos (x) # jer # (x) = 1 / {cos (x)} #.
# d / dx (cos x) = - x x #
Ključ implicitne diferencijacije je korištenje lančanog pravila za uzimanje derivata wrt x i funkcije x i y, poput kruga.
# 9 = x + y ^ 2 ^ 2 #
# d / dx 9 = d / dx (x ^ 2 + y ^ 2) = d / dx (x ^ 2) + d / dx (y ^ 2) #
# 0 = 2x + d / dy y ^ 2 * dy / dx #
# 0 = 2x + 2y * dy / dx #
# -2x = 2y * dy / dx #
# dy / dx = -x / y #
