Odgovor:
# -Xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
Obrazloženje:
Započnite koristeći pravilo zbroja za integrale i podijelite ih na dva odvojena integrala:
# Intxe ^ (2-x) dx + int3x ^ 2dx #
Prvi od tih mini-integrala rješava se pomoću integracije po dijelovima:
pustiti # U = x -> (du) / dx = 1> du = dx #
# DV = e ^ (2-x) dx-> intdv = inte ^ (2-x) dx-> v = -e ^ (2-x) *
Sada pomoću formule integracije po dijelovima # Intudv = UV-intvdu #, imamo:
# Intxe ^ (2-x) dx = (x) (- e ^ (2-x)) - int (-e ^ (2-x)) dx #
# = - XE ^ (2-x) + inte ^ (2-x) dx #
# = - XE ^ (2-x) -e ^ (2-x) *
Drugi od njih je slučaj pravila obrnute snage, u kojem se navodi:
# Intx ^ ndx = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #
Tako # Int3x ^ 2dx = 3 ((x ^ (2 + 1)) / (1 + 2)) = 3 (x ^ 3/3) = x ^ 3 #
Stoga, # Intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + C # (ne zaboravite dodati konstantu integracije!)
Dobili smo početni uvjet #F (0) = 1 #, dakle:
# 1 = - (0) e ^ (2- (0)) - e ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + C #
# 1 = -e ^ 2 + C #
# C = 1 + e ^ 2 #
Izvršavajući ovu konačnu zamjenu, dobivamo naše konačno rješenje:
# Intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
