Poznato je da jednadžba bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 ima jedan stvarni korijen. Dokazati da jednadžba x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 nema pravih korijena.

Odgovor:

Pogledaj ispod.

Obrazloženje:

Korijeni za # Bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0. # su

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

Korijeni će biti slučajni i stvarni ako

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

ili

# A = b # ili #a = 5b #

Sada rješavam

# 2 x ^ + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # imamo

#x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

Uvjet za složene korijene je

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

sada stvaram #a = b # ili #a = 5b # imamo

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

Zaključno, ako # Bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0. # ima podudarne stvarne korijene # 2 x ^ + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # će imati složene korijene.

Navedeno je da je jednadžba:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

ima jedan stvarni korijen, dakle diskriminant ove jednadžbe je nula:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. a = b #, ili # a = 5b #

Nastojimo pokazati jednadžbu:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

nema pravih korijena. To bi zahtijevalo negativnu diskriminaciju. Diskriminant za ovu jednadžbu je:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

= a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

= a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

A sada razmotrimo dva moguća slučaja koja zadovoljavaju prvu jednadžbu:

Slučaj 1: # A = b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# 0

Slučaj 2: # A = 5b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# 0

Stoga su uvjeti prve jednadžbe takvi da druga jednadžba uvijek ima negativnu diskriminaciju, te stoga ima složene korijene (tj. Nema pravih korijena), QED