Ako je ^ 3 + b ^ 3 = 8 i ^ 2 + b ^ 2 = 4 što je vrijednost (a + b)?

Odgovor:

Postoje dvije moguće vrijednosti za sumu, # A + b = 2 # (za # A = 2 # i # B = 0 #) ili # A + b = -4 # (za # a = -2 + i sqrt {2}, ## b = -2 - i sqrt {2}).

Obrazloženje:

Postoje stvarno dvije nepoznanice, zbroj i proizvod # S # i # B, # tako neka #x = a + b # i #y = ab #.

# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #

# x ^ 3 = (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 + 3 xy #

Dvije jednadžbe u dvije nepoznanice, # 2y = x ^ 2 -4 #

# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2y) = 16 + 3x (x ^ 2 - 4) #

# x ^ 3 -12 x + 16 = 0 #

To se zove depresivna kubika, a one imaju prilično lako zatvoreno rješenje poput kvadratne formule. No, umjesto da ga dotaknemo, samo pogađamo korijen do trenutka kada smo počeli isprobavati male brojeve. Mi vidimo # X = 2 # radi tako # (X-2) * je čimbenik.

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0 #

Sada možemo dodatno utjecati

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x-2) (x + 4) = (x-2) ^ 2 (x + 4) = 0 #

Dakle, postoje dvije moguće vrijednosti za sumu, # A + b = 2 # i # A + b = -4. #

Prvi odgovor odgovara stvarnom rješenju # a = 2, b = 0 # i simetrično # a = 0, b = 2 #, Drugi odgovor odgovara zbroju par složenih konjugata. oni su # a, b = -2 pm i sqrt {2} #, Možete li provjeriti ovo rješenje?

Odgovor:

# (a + b) = 2, ili, a + b = -4 #

Obrazloženje:

# "" a ^ 2 + b ^ 2 = 4 #

# => (A + b) ^ 2-2ab = 4 #

# => 2ab = (a + b) ^ 2-4 #

# => Ab = ((a + b) ^ 2-4) / 2 #

Sada,

# "" a ^ 3 + b ^ 3 = 8 #

# => (A + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) = 8 #

# => (A + b) (4-ab) = 8 #

# => (A + b) {4 - ((a + b) ^ 2-4) / 2 = 8} #

# => (A + b) {6 - ((a + b) ^ 2) / 2 = 8} #

Neka,

# (A + b) = x #

Tako, # => X (6-x ^ 2/2) = 8 #

# => X (12-x ^ 2) = 16 #

# => X ^ 3-12x + 16 = 0 #

Promatrajte to #2^3-12*2+16=8-24+16=0#

#:. (X-2) * je čimbenik.

Sada, # X ^ 3-12x + 16 = ul (x ^ 3-2x ^ 2) + ul (2 x ^ 2-4 *) -ul (8x + 16) *,

# = X ^ 2 (x-2) + 2x (x-2) -8 (x-2) *, # = (X-2), (x ^ 2 + 2x-8) #, # = (X-2), (x + 4) (x-2) *.

#:. x ^ 3-12x + 16 == 0 rArr x = 2, ili, x = -4 #.

#:. a + b = 2, ili, a + b = -4 #.

Ovdje je prikazan grafikon.

Vrijednost #color (crveno) ((a + b) = 2, ili, -4. #

Nadam se da to pomaže …

Hvala vam…