Neka su 5a + 12b i 12a + 5b duljine stranica pravokutnog trokuta, a 13a + kb hipotenuza, gdje su a, b i k pozitivni cijeli brojevi. Kako pronaći najmanju moguću vrijednost k i najmanju vrijednost a i b za taj k?

Odgovor:

#k = 10 #, # A = 69 #, # B = 20 #

Obrazloženje:

Po Pitagorinom teoremu imamo:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

To je:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

# boja (bijela) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

Oduzmite lijevu stranu s oba kraja kako biste pronašli:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

# boja (bijela) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

Od #b> 0 # tražimo:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

Onda od tada #a, b> 0 # tražimo # (240-26k) # i # (169-k ^ 2) * imati suprotne znakove.

Kada #k u 1, 9 # oba # 240-26k # i # 169-k ^ 2 # su pozitivni.

Kada #k u 10, 12 # pronašli smo # 240-26k <0 # i # 169-k ^ 2> 0 # po potrebi.

Dakle, minimalna moguća vrijednost # K # je #10#.

Zatim:

# -20a + 69b = 0 #

Onda od tada #20# i #69# nemaju zajednički faktor veći od #1#, minimalne vrijednosti # S # i # B # su #69# i #20# odnosno.