Molim vas, netko će pomoći u rješavanju problema?

Odgovor:

Pokušajte promijeniti # x = tan u #

Pogledaj ispod

Obrazloženje:

Mi to znamo # 1 + tan ^ 2 u = sek ^ 2u #

Predloženom promjenom imamo

# dx = sek ^ 2u du #, Omogućuje zamjenu u integralu

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = Sinu + C #

Dakle, poništavanje promjene:

# U = arctanx # i konačno imamo

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

Odgovor:

#COLOR (plava) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Obrazloženje:

Pokušajmo koristiti Trigonometrijsku zamjenu za rješavanje ovog integralnog. Da bismo to učinili, konstruirat ćemo trokut pravog kuta #Delta ABC # i obilježiti strane na takav način da pomoću Pythagorine formule možemo izvesti izraze koje trenutno vidimo u argumentu integralnog kako slijedi:

Kut # / B = _ theta # ima suprotnu stranu #x# i susjedna strana #1#, Koristeći Pitagorinu formulu:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # Rezultati u:

# (BC) ^ 2-1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # kao što je prikazano.

Sada ćemo napisati tri najosnovnije trigonometrijske funkcije za # Teta #:

# Sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) *

# Costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) *

# Tantheta = x / 1 x = #

Sada trebamo koristiti ove jednadžbe za rješavanje raznih dijelova integralnog argumenta u trigonometrijskim pojmovima. Iskoristimo # Tantheta #:

# Tantheta = x #

Uzmimo derivate obiju strana:

# sek ^ 2 theta d theta = dx #

Od # Costheta # možemo riješiti #sqrt (1 + x ^ 2) *:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Ako podignemo obje strane ove jednadžbe na snagu #3# dobivamo:

# S ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Sada, možemo zamijeniti ono što smo izračunali u integralni problem kako bismo ga pretvorili u trigonometrijski integral:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sec ^ 2thetad theta) / sec ^ 3 theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) d theta = intcancelcolor (crveno) (sec ^ 2theta) / (secthetacancelcolor (crveno) (sec ^ 2theta)) d theta = int1 / secthetad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intcosthetad theta = sintheta + C #

Sada možemo zamijeniti # Sintheta # i pretvoriti naš odgovor natrag u algebarski izraz u terminima #x#:

#COLOR (plava) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #