Odgovor:
# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ 1 ((sqrt2x) / 2)) + C #
Obrazloženje:
Budući da je nazivnik već faktoriziran, sve što je potrebno za djelomične frakcije rješava se za konstante:
# (3 x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3), (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7), #
Imajte na umu da trebamo oboje #x# i konstantni pojam na lijevoj većini, jer je brojnik uvijek 1 stupanj niži od nazivnika.
Mogli bismo se pomnožiti pomoću denominatora lijeve strane, ali to bi bio ogroman posao, pa možemo umjesto toga biti pametni i koristiti metodu prikrivanja.
Neću detaljno obraditi proces, ali u suštini ono što radimo je saznati što čini imenitelj jednakom nuli (u slučaju # C # to je # 3 x = #), te uključivanjem u lijevu stranu i procjenom, dok prikriva faktor koji odgovara konstanti, to daje:
# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (tekst (////)) (3-7)) = - 6/11 #
Isto možemo učiniti i za # D #:
# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (tekst (////))) = 35/51 #
Metoda zataškavanja radi samo za linearne faktore, pa smo prisiljeni riješiti za # S # i # B # pomoću tradicionalne metode i množenjem pomoću nazivnika lijeve strane:
# 3x ^ 2-x = (Ax + B) (x-3) (x-7), -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x-3) #
Ako pomnožimo sve zagrade i izjednačimo sve koeficijente raznih #x# i konstantne pojmove, možemo saznati vrijednosti # S # i # B #, To je prilično dugačak izračun, tako da ću ostaviti link za svakoga tko je zainteresiran:
kliknite ovdje
# A = -79/561 #
# B = -94/561 #
To daje našem integralu:
#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2))
Prva dva se mogu riješiti pomoću jednostavnih u-supstitucija nazivnika:
# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2)
Preostali dio možemo podijeliti na dva dijela:
#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2 + 2)
Nazvat ću lijevi Integral 1 i desni Integral 2.
Integral 1
Ovaj integral možemo riješiti u-supstitucijom # U = x ^ 2 + 2 #, Derivat je # 2x #, tako da dijelimo # 2x # integrirati s obzirom na # U #:
# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int otkaži (x) / (2kancel (x) u) d = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + K #
Integral 2
Želimo dobiti ovaj integralni oblik u obrazac # Tan ^ -1 #:
#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #
Ako uvedemo zamjenu s # X = sqrt2u #, moći ćemo transformirati naš integralni dio u ovaj oblik. Integrirati s poštovanjem # U #, moramo umnožiti # Sqrt2 # (budući da smo uzeli derivat u odnosu na # U # umjesto #x#):
# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #
# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) 1 = (u ^ 2 + 1) du = 94 / 2sqrt2int
# = 47sqrt2tan ^ 1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ 1 (x / sqrt2) + C #
Dovršavanje izvornog integrala
Sada kada znamo što je Integral 1 i Integral 2 jednako, možemo dovršiti originalni integral da bismo dobili naš konačni odgovor:
# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ 1 ((sqrt2x) / 2)) + C #
