Odgovor:
#3#
Obrazloženje:
pustiti
# x = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
gdje ograničavamo naše rješenje da bude pozitivno, jer uzimamo samo pozitivni kvadratni korijen, tj. #x> = 0 #, Izravnali smo obje strane
# 2 x ^ = 7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
# => X ^ 2-7 = sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
Gdje ovo vrijeme ograničavamo lijevu stranu da bude pozitivna, budući da želimo samo pozitivni kvadratni korijen, tj.
# X ^ 2-7> = 0 # #=># #x> = sqrt (7) ~ = 2,65 #
gdje smo eliminirali tu mogućnost #x '= - sqrt (7) * koristeći naše prvo ograničenje.
Opet obojica imamo dvije strane
# (X ^ 2-7) ^ 2 #=# 7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + oo …….. #
# (X ^ 2-7) ^ = 2-7 -sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + oo …….. #
Izraz u ponovljenim kvadratnim korijenima je izvorni izraz za #x#, dakle
# (X ^ 2-7) ^ = 2-7 -x #
ili
# (X ^ 2-7) 2-7 ^ + x = 0 #
Probna rješenja ove jednadžbe su # x = -2 # i # X = + 3 # što rezultira sljedećom faktorizacijom
# (X + 2) (x-3) (x ^ 2 + x-7), = 0 #
Korištenje kvadratne formule na trećem faktoru # (X ^ 2 + x-7), = 0 # daje nam još dva korijena:
# (- 1 + -sqrt (29)) / 2 ~ = 2.19 "i" -3.19 #
Stoga su četiri korijena polinoma #-3.19…, -2, 2.19…, # i #3#, Samo jedna od tih vrijednosti zadovoljava naše ograničenje #x> = sqrt (7) ~ = 2,65 #, dakle
# 3 x = #
Odgovor:
Drugi način
Obrazloženje:
Volim raspravljati o lukavom načinu da dobijem rješenje na prvi pogled na problem ponovljenih kvadratnih korijena kao što je sljedeće
# sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
gdje # r # pripada sljedećoj seriji
#3,7,13,21,31…………#, čiji je opći pojam dan
# M ^ 2-m + 1 # gdje # m epsilon N # i # m> 1 #
TRIK
Ako je 1 oduzeto od danog broja # M ^ 2-m + 1 # rezultirajući broj postaje # M ^ 2-m # koji je # m (m-1) # a što nije ništa drugo nego proizvod dva uzastopna broja i veći jedan od ova dva bit će jedinstveno rješenje problema.
kada je r = # M ^ 2-m + 1 # faktor # M ^ 2-m + 1-1 # = # (M-1) m # i m je odgovor
kada je r = 3 faktor (3-1) = 2 = 1,2 i 2 je odgovor
kada je r = 7 faktor (7-1) = 6 = 2.3 i 3 je odgovor
i tako dalje…….
Obrazloženje
Uzimanje
# x = sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Kvadriranje na obje strane
# x ^ 2 = r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# x ^ 2 r = sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Opet kvadrira s obje strane
# (x ^ 2 r) ^ 2 = r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# (x ^ 2 r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2 r) ^ 2-r + x = 0 #
stavljanje r = # M ^ 2-m + 1 #
# (x ^ 2- (m ^ 2 -m + 1)) ^ 2- (m ^ 2 -m + 1) + x = 0 #
ako stavimo x = m u LHS ove jednadžbe, LHS postaje
LHS =
# (m ^ 2 (m ^ 2 -m + 1)) ^ 2- (m ^ 2 -m + 1) + m #
# = (poništi (m ^ 2) - poništi (m ^ 2) + m-1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1-m) #
# = (M-1)) ^ 2- (m-1) ^ 2-0 #
jednadžba je zadovoljena.
Stoga je m odgovor
stavimo
# x = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt …. #
To možemo lako vidjeti
#sqrt (7 + sqrt (7 x)) = x #
Dakle, riješimo jednadžbu:
# 7 + sqrt (7 x) = x ^ 2 #
#sqrt (7-x) = x ^ 2-7 #
# 7-x = (x ^ 2-7) ^ 2-x ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
Ovo nije trivijalna jednadžba koju treba riješiti. Jedna od drugih osoba koje su odgovorile na pitanje uputile su rješenje 3. Ako pokušate, vidjet ćete da je to istina.
