Kakvo je značenje različitih skupova brojeva kao što su stvarni, racionalni, iracionalni itd.?

Kakvo je značenje različitih skupova brojeva kao što su stvarni, racionalni, iracionalni itd.?
Anonim

Odgovor:

Nekoliko misli …

Obrazloženje:

Postoji previše toga što se ovdje može reći, ali evo nekoliko misli …

Što je broj?

Ako želimo moći razmišljati o brojevima i stvarima koje mjere ili pružaju jezik za izražavanje, onda su nam potrebni čvrsti temelji.

Možemo početi od cijelih brojeva: #0, 1, 2, 3, 4,…#

Kada želimo izraziti više stvari, nailazimo i na potrebu za negativnim brojevima, pa proširujemo našu ideju brojeva na cijele brojeve: #0, +-1, +-2, +-3, +-4,…#

Kada želimo podijeliti bilo koji broj bilo kojim ne-nultim brojem, onda proširimo našu ideju brojeva na racionalne brojeve # P / q # gdje #p, q # su cijeli brojevi i #q! = 0 #.

Zatim nailazimo na neugodnosti poput činjenice da dijagonala kvadrata s racionalnim stranama ima duljinu koju ne možemo izraziti kao racionalni broj. Da bismo to popravili, moramo uvesti kvadratne korijene - vrstu iracionalnog broja. Kvadratni korijeni omogućuju rješavanje jednadžbi kao što su:

# x ^ 2 + 4x + 1 = 0 #

Često kada se bavimo neracionalnim brojevima #sqrt (2) # ili ih ostavljamo u algebarskom obliku ili koristimo decimalne aproksimacije #sqrt (2) ~~ 1.414213562 #.

Imajte na umu da brojevi o kojima smo do sada govorili imaju prirodni ukupni poredak - možemo ih smjestiti na liniju na takav način da se bilo koja dva broja mogu usporediti.

Što je s cijelom linijom?

To se obično naziva pravim brojem redaka, pri čemu je svaka točka linije povezana s brojem.

Kako uopće možemo razmišljati o brojevima na toj liniji?

Možemo upotrijebiti ukupno redoslijed, aritmetička svojstva i karakterizirati stvarne brojeve u granicama. Općenito, razmišljanje o stvarnim brojevima uključuje više takve vrste mišljenja.

Dakle, matematika postaje kompliciranija kada prelazimo s rasuđivanja na prirodne brojeve na zaključivanje o stvarnim brojevima? Ne, postaje drugačije - vrlo različito. Na primjer, neriješeni problem u matematici je:

Postoji li beskonačan broj primarnih parova - tj. Parova brojeva # P # i # P + 2 # takvi da su oboje prvoklasni.

Zvuči jednostavno, ali najbolje što možemo učiniti je pokazati da postoji beskonačan broj osnovnih parova oblika. # P #, # 246 # p + čak i to je vrlo komplicirano.