Duljina žice od 20 cm izrezana je na dva dijela. Jedan od dijelova se koristi za oblikovanje perimetra kvadrata?

Odgovor:

# "Minimalna ukupna površina = 10.175 cm²." #

# "Maksimalna ukupna površina = 25 cm²." #

Obrazloženje:

# "Naziv x duljina komada u obliku kvadrata."

# "Tada je područje kvadrata" (x / 4) ^ 2 "." #

# "Perimetar trokuta je" 20-x "." #

# "Ako je y jedna od jednakih strana trokuta, onda imamo" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20 x

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => područje = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) #

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Ukupna površina =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# = x ^ 2/16 + x ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8srt (2)) #

# = x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2))) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# "Ovo je parabole i minimum za parabole" #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "je" x = -b / (2 * a) ", ako je a> 0.

# "Maksimum je" x-> oo ", ako je a> 0." #

# "Dakle, minimum je" #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2))) #

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2))))

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "Ukupna površina =" 10.175 "cm²." #

# "Maksimum je ili x = 0 ili x = 20." #

# "Provjeravamo područje:" #

# "Kada" x = 0 => "područje =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17.157 "cm²" #

# "Kada" x = 20 => "područje =" 5 ^ 2 = 25 "cm²" #

# "Maksimalna ukupna površina je 25 cm²."

Odgovor:

Minimalna površina je #10.1756# i maksimum je #25#

Obrazloženje:

Perimetar pravokutnog jednakokračnog trokuta sa strane # S # je # A + a + sqrt2a-a (2 + sqrt2) # i njegovo područje # A ^ 2/2 #,

Neka jedan komad bude #x# cm. iz kojeg oblikujemo pravokutni jednakokračan trokut. Očito je da bi strana pravokutnog jednakokračnog trokuta bila # X / (2 + sqrt2) # i njegovo područje bi bilo

# X ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) *

= # (X ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

Perimetar drugog dijela niza koji tvori kvadrat je # (20-x) * i kao strana kvadrata # (20-x) / 4 # njegovo područje # (20-x) ^ 2/16 # i ukupna površina # T # od dva je

# T = (20 x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) *

Promatrajte to # 3-2sqrt2> 0 #, stoga koeficijent od # X ^ 2 # je pozitivan i stoga ćemo imati minimum i možemo pisati # T # kao

# T = 0.1054x ^ 2-2.5x + 25 #

= # 0,1054 (x ^ 2-23.7192x + (11,8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11,8596) ^ 2 #

= # 0,1054 (x-11,8596) ^ 2 + 10,1756 #

Kao # 0,1054 (x-11,8596) ^ 2 # je uvijek pozitivan, imamo minimalnu vrijednost # T # kada # X = 11,8596 #.

Primijetite da teoretski nema maksima za funkciju, već kao vrijednost #x# leži između #0,20#, i kada # X = 0 #, imamo # T = 0,1054 (0-11.8596) ^ 2 + 10,1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10,1756 = 25 #

i kada # X = 20 # kada # T = 0,1054 (20-11.8596) ^ 2 + 10,1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10,1756 = 17,16 #

i stoga je maksimum #25#

graf {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11.92, 28.08, -0.96, 19.04}