Pokažite da jednadžba x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 ima točno jedno rješenje na [0, 1]?

Odgovor:

Pogledaj ispod.

Obrazloženje:

Prije svega, izračunajmo #F (x) = x ^ 4 ^ + 2x 2-2 # na granici naše domene:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Ako izračunamo derivat

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

Možemo vidjeti da je uvijek pozitivan #0,1#, Zapravo, # X ^ 2 + 1 # je uvijek pozitivan, i # 4x # očito je pozitivan, jer #x# je pozitivan.

Dakle, naša funkcija počinje ispod #x# od #F (0) <0 #i završava iznad #x# od #F (1)> 0 #, Funkcija je polinom i stoga je kontinuirana.

Ako se kontinuirana linija kreće ispod osi i završava iznad, to znači da ju je prešao negdje između. Činjenica da je derivat uvijek pozitivan znači da funkcija uvijek raste, pa ne može dva puta prijeći osovinu, stoga je i dokaz.