Pitanje # 242a2

Odgovor:

Za energiju pohranjenu u kondenzator u vrijeme # T # imamo #E (t) == E (0) exp (-2t / (CR)) * gdje #E (0) # je početna energija, # C # kapaciteta i # R # otpor žice koja povezuje dvije strane kondenzatora.

Obrazloženje:

Prije nego što odgovorimo na ovo pitanje, najprije ćemo pregledati neke temeljne koncepte. Naravno, trebamo znati energiju pohranjenu u kondenzatoru, odnosno energiju pohranjenu u električnom polju stvorenom nabojem pohranjenim u kondenzatoru. Za to imamo formulu # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # s # C # kapacitet kondenzatora i # P # na jednoj od ploča kondenzatora. 1

Da bismo znali kako se energija smanjuje, moramo znati kako se smanjuje naboja. Za ovo treba imati na umu nekoliko stvari. Prva stvar je da se naboj može smanjiti samo ako može ići bilo gdje. Najjednostavniji scenarij je da su dvije ploče spojene žicom, tako da se ploče mogu zamijeniti kako bi postale neutralne. Druga stvar je da ako pretpostavimo da žica nema nikakav otpor, naboja će se moći trenutno kretati, tako da će energija pasti na nulu i po toj stopi. Budući da je ovo dosadna situacija, a osim toga, ne baš realna, pretpostavljamo da žica ima određeni otpor # R #, koje možemo modelirati spajanjem ploča kondenzatora preko otpornika s otpornošću # R # pomoću žica bez otpornosti.

Ono što sada imamo je takozvani RC-krug, prikazan dolje. Da bismo saznali kako se pohranjena naboja mijenja, moramo zapisati neku diferencijalnu jednadžbu. Nisam siguran kako je čitatelj u matematici stručan, pa vas molimo da me obavijestite ako vam je sljedeći odjeljak nejasan, a ja ću pokušati to detaljnije objasniti.

Prije svega napominjemo da kada hodamo duž žice, doživljavamo dva skoka električnog potencijala (napona), i to na kondenzatoru i na otporniku. Ovi skokovi su dati # DeltaV_C = P / C # i # DeltaV_R = IR # respektivno 1. Napominjemo da u početku nema struje, tako da je razlika potencijala u odnosu na otpornik 0, međutim, kao što ćemo vidjeti, pojavit će se struja kada se troškovi počnu kretati. Sada napominjemo da kada hodamo oko kruga od jedne točke, ponovno ćemo završiti u toj istoj točki, jer smo u krugu. U ovom jedinstvenom trenutku potencijal je oba oba puta, jer je to ista točka. (Kada kažem da hodamo duž kruga, ne mislim to doslovno, radije pregledamo naponske skokove na krugu u jednom trenutku u vremenu, tako da vrijeme ne prolazi kada hodamo duž kruga, dakle argument vrijedi, čak i ako promjena napona u vremenu.)

To znači da je ukupni skok potencijala nula. Tako # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + P / C #, Sada razmišljamo o čemu # I #, struja je. Struja se kreće punjenjem, uzima pozitivni naboj od jedne kondenzatorske ploče i isporučuje se drugom. (Zapravo je većinu vremena obrnuto, ali za matematiku ovog problema nije važno.) To znači da je struja jednaka promjeni naboja na pločama, drugim riječima # I = (dQ) / dt #, Zamjenjujući ovo u gornju jednadžbu daje nam # (DQ) / DTR + P / C = 0 #, što znači # (DQ) / dt = Q / (CR) #, To je tzv. Linearna diferencijalna jednadžba prvog reda. Diktira promjenu naboja po vrijednosti naboja u to vrijeme na linearan način, što znači da bi, ako je naboj bio dvostruko veći, promjena zaduženja bila dvostruko veća. Ovu jednadžbu možemo riješiti pametnom uporabom računice.

# (DQ) / dt = Q / (CR) #, pretpostavljamo # Qne0 #što u početku nije, i kako će ispasti, nikada neće biti. Koristeći to možemo reći # 1 / Q (dQ) / dt = -1 / (CR) #, Znati # P # u nekom trenutku # T # (drugim riječima #Q (t) #, integriramo jednadžbu na sljedeći način: # Int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_0 ^ t1 / (CR) dt '= - t / (CR) # od # C # i # R # su konstante. # Int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_ (Q (0)) ^ (Q (t)) (dQ) / Q ln ((Q (t)) / (Q (0))) * promjenom varijabli. To znači #ln ((Q (t)) / (Q (0))) = - t / (CR) #, Dakle #Q (t) = P (0) exp (-t / (CR)) *.

Na kraju, ovo moramo nadomjestiti u jednadžbi za energiju:

#E (t) = 1/2 (Q (t) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2t / (CR)) = E (0) exp (-2t / (CR)) *.

Tako energija eksponencijalno pada kroz vrijeme. Doista vidimo da ako # R # morao je otići na nulu, #E (t) # će ići na 0 odmah.

1 Griffiths, David J. Uvod u elektrodinamiku, Četvrto izdanje. Pearson Education Limited, 2014