Koje su asimptote i otvori, ako ih ima, od f (x) = ((x-3) (x + 2) * x) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3- 3x ^ 2)?

Odgovor:

# X = 0 # je asimptota.

# X = 1 # je asimptota.

#(3, 5/18)# je rupa.

Obrazloženje:

Prvo, pojednostavimo našu frakciju bez ukidanja bilo čega (budući da ćemo uzimati ograničenja i ukidati stvari iz toga može se kvariti).

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3-3x ^ 2)) #

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x) (x-1) (x ^ 2) (x-3)) #

#f (x) = (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3) #

Sada: rupe i asimptote su vrijednosti koje čine funkciju nedefiniranom. Budući da imamo racionalnu funkciju, ona će biti nedefinirana ako i samo ako je nazivnik jednak 0. Stoga samo trebamo provjeriti vrijednosti #x# koji čine nazivnik #0#, koji su:

# X = 0 #

# X = 1 #

# 3 x = #

Da bismo saznali jesu li to asimptote ili rupe, uzmimo granicu od #F (x) * kao #x# pristupa svakom od tih brojeva.

#lim_ (x-> 0) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 0) ((x-3)) (x + 2)) / (x ^ 2 (x-1), (x-3)) *

# = (-3 * 2) / (0 * (- 1) * (- 3)) = + - # #

Tako # X = 0 # je asimptota.

#lim_ (x-> 1) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = (1 * (- 2) * 3) / (1 * 0 * (- 2)) = + -oo #

Tako # X = 1 # je asimptota.

#lim_ (x-> 3) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 3) ((x + 2))) / (x ^ 2 (x-1)) *

#= 5/(9*2) = 5/18#

Tako #(3, 5/18)# je rupa unutra #F (x) *.

Konačni odgovor