Kako se trigonometrijska supstitucija razlikuje od supstitucije u?

Odgovor:

Općenito, trigonometrijska zamjena se koristi za integrale obrasca # X ^ 2 + -a ^ 2 # ili #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) *, dok # U #zamjena se koristi kada se funkcija i njezin derivat pojavljuju u integralu.

Obrazloženje:

Smatram da su obje vrste zamjena vrlo fascinantne zbog rezoniranja iza njih. Razmotrite, prvo, zamjenu trigona. To proizlazi iz Pitagorejskog teorema i Pitagorejskih identiteta, vjerojatno dva najvažnija koncepta u trigonometriji. To koristimo kada imamo nešto poput:

# X ^ 2 + a ^ 2 -> # gdje # S # je konstantna

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # opet pretpostavljajući # S # je konstantna

Možemo vidjeti da ove dvije izgledaju grozno # A ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2 #, što je Pitagorejska teorema. Povezuje dvije strane pravokutnog trokuta s hipotenuza trokuta. Ako to izvučemo, možemo vidjeti da, # X ^ 2 + a ^ 2 # može se prikazati trokutom:

Slika je vrlo korisna, jer nam govori # Tantheta = x / a #, ili # Atantheta = x #; ovo je osnova zamjene trigona. Nadalje (a to je mjesto gdje je strašan), kada zamjenjujete # x = tantheta # u # X ^ 2 + a ^ 2 #, u ovom slučaju završite s pitagorejskim identitetom # Tan ^ 2 theta + 1 = sec ^ 2 theta #, Nakon toga možete pojednostaviti # Sec ^ 2 theta # ako je potrebno, i integralni je lako tamo na van. Isto vrijedi i za slučajeve # X ^ 2-a ^ 2 #, # A ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) *, i #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) *.

Možete upotrijebiti potprogram trig. za mnogo problema, ali možete ih koristiti # U #Supstitucija je vjerojatno još i više. Tu tehniku koristimo kad imamo nešto slično # Intlnx / xdx #, Ako smo pažljivi, vidimo da imamo dvije funkcije - # LNX # i # 1 / x #, I ako se sjećamo naših osnovnih derivata, znamo # D / dxlnx = 1 / x # za #x> 0 # (ili # D / dxlnabs (x) = 1 / x # za #x! = 0 #). Zato je ideja reći # U = LNX #; zatim # (Du) / dx = 1 / x # i # Du = dx / x #, Problem, nakon što su izvršene ove zamjene, pojednostavljuje # Intudu # - mnogo lakši integralni nego prije.

Iako se ove dvije tehnike mogu razlikovati, obje služe istoj svrsi: svoditi integral na jednostavniji oblik kako bismo mogli koristiti osnovne tehnike. Siguran sam da moje objašnjenje nije dovoljno da uključim sve specifične detalje o tim zamjenama, pa pozivam druge da daju svoj doprinos.