Pitanje # 3bbc

Odgovor:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = 0,2746530521 #

Obrazloženje:

Moje rješenje je Simpsonovo pravilo, formula za aproksimaciju

# int_a ^ b y * dx ~ = #

# H / 3 (y_0 + 4x y_1 + 2 * y_2 + 4x y_3 + 2 * y_4 + ….. + 4x y_ (n-1) + y_n) #

Gdje # H = (b-a) / n # i # B # gornju granicu i # S # donja granica

i # # N bilo koji parni broj (što je veći, to bolje)

Ja sam izabrao

# N = 20 #

dan # B = pi / 4 # i # A = 0 #

# H = (pi / 4-0) / 20-pi / 80 #

Ovo je način izračunavanja. Svaki # y = (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) # će koristiti drugačiju vrijednost

za # Y_0 #

# X_0 = (a + 0 * h) = (0 + 0 * pi / 80) = 0 #

# y_0 = (sin x_0 + cos x_0) / (3 + sin 2x_0) #

# y_0 = (sin (0) + cos (0)) / (3 + sin 2 (0)) #

#COLOR (crveno) (= y_0,3333333333333) #

za # 4 * # y_1

# X_1 = (a + 1 * h) = (0 + 1 * pi / 80) = pi / 80 #

# 4 * y_1 = 4 * (sin x_1 + cos x_1) / (3 + sin 2x_1) #

# 4 * y_1 = 4 * (grijeh (pi / 80) + cos (pi / 80)) / (3 + sin (2 (pi / 80))) #

#COLOR (crveni) (4 x = y_1 1,3493618978936) #

za # 2 x y_2 #

# X_2 = (a + 2 + H) = (0 + 2 * pi / 80) = 2 * pi / 80 #

# 2 * y_2 = 2 * (sin x_2 + cos x_2) / (3 + sin 2x_2) #

# 2 * y_2 = 2 * (sin ((2pi) / 80) + cos ((2pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((2pi) / 80)) #

#COLOR (crveno) (2 x = y_2,68138682514816) #

za # 4 * # y_3

# X_3 = (a + 3 * h) = (0 + 3 * pi / 80) = 3 * pi / 80 #

# 4 * y_3 = 4 * (sin x_3 + cos x_3) / (3 + sin 2x_3) #

# 4 * y_3 = 4 * (grijeh ((3pi) / 80) + cos ((3pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((3pi) / 80)) #

#COLOR (crveni) (4 x = y_3 1,3738977832468) #

za # 2 x y_4 #

# X_4 = (a + 4 + H) = (0 + 4x pi / 80) = 4 * pi / 80 #

# 2 * y_4 = 4 * (sin x_4 + cos x_4) / (3 + sin 2x_4) #

# 2 * y_4 = 4 * (grijeh ((4pi) / 80) + cos ((4pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((4pi) / 80)) #

#COLOR (crveno) (2 x = y_4,69151824096418) #

ostatak je sljedeći

#COLOR (crveni) (4 x = y_5 1,3904648494964) #

#COLOR (crveno) (2 x = y_6,69821575035862) #

#COLOR (crveni) (4 x = y_7 1,4011596185484) #

#COLOR (crveno) (2 x = y_8,70242415421322) #

#COLOR (crveni) (4 x = y_9 1,4076741205702) #

#COLOR (crveno) (2 x = y_10,70489632049832) #

#COLOR (crveni) (4 x = y_11 1,4113400771087) #

#COLOR (crveno) (2 x = y_12,7062173920012) #

#COLOR (crveni) (4 x = y_13 1,4131786935757) #

#COLOR (crveno) (2 x = y_14,7068293103707) #

#COLOR (crveni) (4 x = y_15 1,4139474301694) #

#COLOR (crveno) (2 x = y_16,70705252678954) #

#COLOR (crveni) (4 x y_17 = 1,414179352209) #

#COLOR (crveno) (2 x = y_18,70710341105534) #

#COLOR (crveni) (4 x = y_19 1,4142131417552) #

#COLOR (crveno) (= y_20,35355339059328) #

Zbroj svih ovih #COLOR (crveni) ("zbroj" = 20,98194762) #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = (h / 3) * "sum" #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = ((pi / 80) / 3) * 20.98194762 #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = boja (crvena) (0.2746530521) #

Alternativa je jednostavno korištenje grafičkog kalkulatora za vrijeme kada komplicirana integracija nastaje s točnijom vrijednosti

#COLOR (crvena) (= 0,2746530722) #

Bog blagoslovio … nadam se da je objašnjenje korisno.

Odgovor:

# Int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2 x)) dx = ln (3) / 4 #

Obrazloženje:

Nastavit ćemo pomoću zamjene. Prvo ćemo proći kroz neke algebre kako bismo integrirali integrand u poželjniji oblik.

# 3 + sin (2x) = 3 + 2 s (x) cos (x) #

# = 4 + 2sin (x) cos (x) - 1 #

# = 4 + 2sin (x) cos (x) - sin ^ 2 (x) -cos ^ 2 (x) #

# = 4 - (sin (x) -cos (x)) ^ 2 #

# = (2 + sin (x) - cos (x)) (2 - sin (x) + cos (x)) #

# => (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) = (sin (x) + cos (x)) / ((2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x))) *

# = (4 (sin (x) + cos (x))) / (4 (2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x)) *

# = (sin (x) + cos (x)) / 4 xx #

# Xx4 / ((2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x))) *

# = (sin (x) + cos (x)) / 4 xx #

#xx (1 / (2 + sin (x) -cos (x)) + 1 / (2-sin (x) + cos (x))) *

# = 1 / 4xx (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) - 1 / 4xx (-sin (x) -cos (x)) / (2- sin (x) + cos (x)) #

Koristeći to, možemo podijeliti integral:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = #

# = 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx #

# - 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx #

Za prvi integral pomoću zamjene #u = 2 + sin (x) - cos (x) # daje nam #du = (sin (x) + cos (x)) dx # i granice integracije se mijenjaju od #0# i # Pi / 4 # do #1# i #2#, Tako dobivamo

# 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx = int_1 ^ 2 1 / udu #

# = 1/4 (ln | u |) _1 ^ 2 #

# = 1/4 (ln (2) -ln (1)) *

# = 1 / 4ln (2) #

Za drugi integral pomoću zamjene #u = 2 - sin (x) + cos (x) # daje nam #du = (-sin (x) -cos (x)) dx # i granice integracije se mijenjaju od #0# i # Pi / 4 # do #3# i #2#, Tako dobivamo

# -1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx = -1 / 4int_3 ^ 2 1 / udu #

# = 1 / 4int_2 ^ 3 1 / udu #

# = 1/4 (ln (3) -ln (2)) *

# = 1/4 (ln (3/2)) *

Zamjena vrijednosti za integrale daje nam željeni rezultat:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = 1/4 ln (2) + 1/4 ln (3/2) #

# = 1/4 (ln (2) + ln (3/2)) *

# = 1 / 4ln (2 * 3/2), #

# = U (3) / 4 #