Dokazati ovo: (1-sin ^ 4x-cos ^ 4x) / (1-sin ^ 6x-cos ^ 6x) = 2/3?

# LHS = (1-sin ^ 4x-cos ^ 4x) / (1-sin ^ 6x-cos ^ 6x) #

# = (1 - ((sin ^ 2 x) ^ 2 + (cos ^ 2 x) ^ 2),) / (1 - ((sin ^ 2 x) ^ 3 + (cos ^ 2 x) ^ 3)) *

# = (1 - ((sin ^ 2x + cos ^ 2 x) ^ ^ 2-2sin 2cos ^ 2 x)) / (1 - ((sin ^ 2x + cos ^ 2 x) ^ ^ 3-3sin 2xcos ^ 2x (sin ^ 2x + cos ^ 2 x)) #

# = (1- (sin ^ 2x + cos ^ 2 x) ^ 2 + 2sin ^ 2cos ^ 2 x) / (1- (sin ^ 2x + cos ^ 2x) ^ 3 ^ + 3sin 2xcos ^ 2x (sin ^ 2x + cos ^ 2x)) #

# = (1-1 ^ 2 ^ + 2sin 2cos ^ 2 x) / (1-1 ^ 3 ^ + 3sin 2xcos ^ 2x) #

# = (2sin ^ 2cos ^ 2 x) / (3sin ^ 2xcos ^ 2 x) = 2/3-RHS #

Dokazao

U koraku 3 koriste se sljedeće formule

# A ^ 2 + b ^ 2 = (a + b) ^ 2-2ab #

i

# A ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ^ 3-3ab (a + b) #

Odgovor:

Molimo pogledajte objašnjenje. Potvrdio sam svaki korak ovog dokaza pomoću www.WolframAlpha.com

Obrazloženje:

Pomnožite obje strane po # 3 (1-sin ^ 6 (x) ^ 6 -cos (x)) *

# 3-3sin ^ 4 (x) -3cos ^ 4 (x) = 2-2sin ^ 6 (x) -2cos ^ 6 (x) #

Zamjena # -3 (1 - cos ^ 2 (x)) ^ 2 "za" -3sin ^ 4 (x) #

# 3-3 (1 - cos ^ 2 (x)) ^ 2-3cos ^ 4 (x) = 2-2sin ^ 6 (x) -2cos ^ 6 (x) #

Pomnožite kvadrat:

# 3-3 (1 - 2cos ^ 2 (x) + cos ^ 4 (x)) - 3cos ^ 4 (x) = 2-2sin ^ 6 (x) -2cos ^ 6 (x) #

Distribuirajte -3:

# 3-3 + 6cos ^ 2 (x) -3cos ^ 4 (x) -3cos ^ 4 (x) = 2-2sin ^ 6 (x) -2cos ^ 6 (x) #

Pojmovi slični kombinaciji:

# 6cos ^ 2 (x) -6cos ^ 4 (x) = 2-2sin ^ 6 (x) -2cos ^ 6 (x) #

Podijelite obje strane sa 2:

# 3cos ^ 2 (x) -3cos ^ 4 (x) = 1-sin ^ 6 (x) -cos ^ 6 (x) #

Zamjena # - (1 - cos ^ 2 (x)) ^ 3 "za" -sin ^ 6 (x) #

# 3cos ^ 2 (x) -3cos ^ 4 (x) = 1- (1 - cos ^ 2 (x)) ^ 3-cos ^ 6 (x) #

Proširite kocku:

# 3cos ^ 2 (x) -3cos ^ 4 (x) = 1- (1 - 3cos ^ 2 (x) + 3cos ^ 4 (x) -cos ^ 6 (x)) - cos ^ 6 (x) #

Distribuirajte -1:

# 3cos ^ 2 (x) -3cos ^ 4 (x) = 1-1 + 3cos ^ 2 (x) -3cos ^ 4 (x) + cos ^ 6 (x) -cos ^ 6 (x) #

Pojmovi slični kombinaciji:

# 3cos ^ 2 (x) -3cos ^ 4 (x) = 3cos ^ 2 (x) -3cos ^ 4 (x) #

Desno je identično lijevo. Q.E.D.