Što je cos [sin ^ (- 1) (- 1/2) + cos ^ (- 1) (5/13)]?

Odgovor:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Obrazloženje:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) #

# = Cos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = Cos cos ^ (- 1) (5/13) -cos ^ (- 1) (sqrt3 / 2) #

Sada, koristeći #cos ^ (- 1) x-cos ^ (- 1) Y = xy + SQRT ((1-x ^ 2) + (1-y ^ 2)) #, dobivamo,

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = Cos (cos ^ (- 1) (5/13 * sqrt3 / 2 + sqrt ((1- (5/13) ^ 2) * (1- (sqrt (3) / 2) ^ 2)))) #

# = (5sqrt3) / 26 + 12/26 #

# = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Odgovor:

Po formuli sumarnog kuta to je

# cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

# = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (

# = pm {5} {6} {/ 6

Obrazloženje:

#x = cos (arcsin (1/2) + arccos (5/13)) #

Ta su pitanja dovoljno zbunjujuća s funky inverznom funkcijskom notacijom. Pravi problem s ovakvim pitanjima je općenito najbolje tretirati inverzne funkcije kao višestruke vrijednosti, što može značiti da i izraz ima višestruke vrijednosti.

Također možemo pogledati vrijednost #x# za glavnu vrijednost inverznih funkcija, ali prepustit ću to drugima.

U svakom slučaju, ovo je kosinus zbroja dvaju kutova, a to znači da koristimo formulu zbroja kutova:

#cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b #

# x = cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

Kosinus obrnutog kosinusa i sinusa inverznog sinusa su jednostavni. Kosinus inverznog sinusa i sinusa inverznog kosinusa također je jednostavan, ali tamo gdje dolazi multivalualno pitanje.

Općenito će postojati dva ne-coterminalna kuta koja dijele dani kosinus, negacije jednih drugih, čiji će sinusi biti negacije jednih drugih. Općenito će postojati dva ne-coterminalna kuta koji dijele dati sinus, dodatni kutovi, koji će imati kosinusi koji su međusobno negacije. Dakle, u oba smjera smo zajedno # Pm #, Naša jednadžba će imati dvije # Pm # i važno je napomenuti da su neovisni, nepovezani.

Idemo uzeti #arcsin (-1/2) # prvi. Ovo je naravno jedan od trigerskih klišeja, # -30 ^ circ # ili # -150 ^ circ #, Kosinus će biti # + sqrt {3} / 2 # i # - sqrt {3} / 2 # odnosno.

Ne trebamo uzeti u obzir kut. Možemo misliti o pravom trokutu s suprotnim 1 i hipotenuzom 2 i doći do susjednog # Sqrt {3} # i kosinus # _ # sqrt {3} / 2 #, Ili ako je to previše razmišljanja # cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta = 1 # zatim #cos (theta) = pm sqrt {1 - sin ^ 2 theta} # koji nam mehanički dopuštaju da kažemo:

# cos (arcsin (-1/2)) = pm sqrt {1 - (-1/2) ^ 2} = pm sqrt {3} / 2 #

Slično tome, #5,12,13# je pitagorejska trojka ovdje zaposlena

#sin (arccos (5/3)) = pm sqrt {1 - (5/13) ^ 2} = 12/13 #

# x = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (

#x = pm {5 sqrt {3}} / 6 sati 6/13 #