Pomoću teorije Racionalnih nula pronađite moguće nule sljedeće polinomne funkcije: f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35?

Odgovor:

Moguće racionalan nule su:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Obrazloženje:

S obzirom na:

#f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 #

Prema teoremu racionalnih nula, svaki racionalni nula od #F (x) * su izraženi u obliku # P / q # za cijele brojeve #p, q # s # P # djelitelj konstantnog termina #-35# i # # Q djelitelj koeficijenta #33# vodećeg pojma.

Divizori #-35# su:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

Divizori #33# su:

#+-1, +-3, +-11, +-33#

Moguće racionalne nule su:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

#+-1/3, +-5/3, +-7/3, +-35/3#

#+-1/11, +-5/11, +-7/11, +-35/11#

#+-1/33, +-5/33, +-7/33, +-35/33#

ili u rastućem redoslijedu veličine:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Napominjemo da su to samo racionalne mogućnosti. Teorem racionalnih nula nam ne govori o mogućim iracionalnim ili složenim nulama.

Koristeći Descartesovo pravilo znakova, možemo utvrditi da ovaj kubik nema negativnih nula i #1# ili #3# pozitivne stvarne nule.

Dakle, jedini mogući racionalni nule su:

#1/33, 1/11, 5/33, 7/33, 5/11, 7/11, 1/3, 1, 35/33, 5/3, 7/3, 35/11, 5, 7, 35/3, 35#

Pokušavajući svaki za redom, nalazimo:

#f (1/11) = 33 (boja (plava) (1/11)) ^ 3-245 (boja (plava) (1/11)) ^ 2 + 407 (boja (plava) (1/11)) -35 #

#color (bijelo) (f (1/11)) = (3-245 + 4477-4235) / 121 #

#color (bijelo) (f (1/11)) = 0 #

Tako # X-1/11 # je nula i # 11x-1 # faktor:

# 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 = (11x-1) (3x ^ 2-22x + 35) #

Za faktoriranje preostalog kvadratnog možemo koristiti AC metodu:

Pronađite par čimbenika #AC = 3 * 35 = 105 # sa sumom # B = 22 #

Par #15, 7# djela.

Upotrijebite ovaj par da biste podijelili srednji rok, a zatim faktor grupiranjem:

# 3x ^ 2-22x + 35 = (3x ^ 2-15x) - (7x-35) #

# boja (bijela) (3x ^ 2-22x + 35) = 3x (x-5) -7 (x-5) #

# boja (bijela) (3x ^ 2-22x + 35) = (3x-7) (x-5) #

Druga dva nula su:

# x = 7/3 "" # i # "" x = 5 #