Što je apsolutni ekstrem funkcije: 2x / (x ^ 2 +1) na zatvorenom intervalu [-2,2]?

Apsolutni ekstremi funkcije u zatvorenom intervalu # A, b # mogu biti ili lokalni ekstremi u tom intervalu, ili točke čiji su ascisi #a ili b #.

Dakle, pronađimo lokalne ekstreme:

# y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

#Y '> = 0 #

ako

# -X ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <1rArr-1 <= x <1 #.

Dakle, naša funkcija se smanjuje #-2,-1)# i u #(1,2# i raste #(-1,1)#, i tako #A (-1-1) # je lokalni minimum i točka #B (1,1) * je lokalni maksimum.

Sada pronađimo ordinate točaka na ekstremima intervala:

#Y (-2) = - 4 / 5rArrC (-2, -4, / 5) #

#Y (2) = 4 / 5rArrD (2,4 / 5) *.

Tako je kandidati su:

#A (-1-1) #

#B (1,1) *

#C (-2, -4, / 5) #

#D (2,4 / 5) *

i lako je razumjeti da su apsolutni ekstremi # S # i # B #, kao što vidiš:

graf {2x / (x ^ 2 + 1) -2, 2, -5, 5}