Minimalna vrijednost f (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 je?

#F (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 #

# => F (x, y) = x ^ 2-2 * x * (3y) + (3y) ^ 2 + (2y) ^ 2-2 * (2y) * 1 + 1 ^ 2-3 #

# => F (x, y) = (x-3y) ^ 2 + (2y-1) # ^ 2-3

Minimalna vrijednost svakog kvadratnog izraza mora biti nula.

Tako # F (x, y) _ "min" = - 3 #

Odgovor:

Postoji relativni minimum u #(3/2,1/2)# i #F (3 / 2,1 / 2) = - 3 #

Obrazloženje:

Mislim da moramo izračunati djelomične derivate.

Ovdje, #F (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 #

Prvi su djelomični derivati

# (Delf) / (delx) = 2x-6y #

# (Delf) / (odgodu) = 26y-6x-4 #

Kritične točke su

# {(2x-6y = 0), (26y-6x-4 = 0)} #

#<=>#, # {(3y = X), (26y-6 * 3-il-4-0)} #

#<=>#, # {(3y = X), (8y = 4)} #

#<=>#, # {(X = 3/2), (y = 1/2)} #

Drugi djelomični derivati su

# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #

# (Del ^ 2f) / (odgodu ^ 2) = 26 #

# (Del ^ 2f) / (delxdely) = - 6 #

# (Del ^ 2f) / (delydelx) = - 6 #

Odrednica Hessijanske matrice jest

#D (x, y) = | ((bri ^ 2f) / (delx ^ 2), (bri ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (odgodu ^ 2), (bri ^ 2f) / (delydelx)) | #

#=|(2,-6),(-6,26)|#

#=52-36#

#=16>0#

Kao #D (x, y)> 0 #

i

# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2> 0 #

Postoji relativni minimum u #(3/2,1/2)#

I

#F (3 / 2,1 / 2) = 1.5 ^ 2 + 13 * 0,5 * 1,5 ^ 2-6 * * 0,5-4 0,5-2--3 #