Kako pronaći zbroj beskonačnih geometrijskih serija 10 (2/3) ^ n kada je n = 2?

Odgovor:

Odgovor je također #40/9# ili #40/3# ovisno o tome što je značilo pitanje.

Obrazloženje:

Pa ako #n = 2 # onda ne postoji suma, odgovor je samo:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Ali možda je pitanje trebalo zamoliti da se uzme beskonačni iznos od početka # N = 2 # tako da je jednadžba:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n #

U ovom slučaju, izračunali bismo ga najprije primjećujući da se bilo koja geometrijska serija može smatrati oblikom:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

U ovom slučaju, naša serija ima #a = 10 # i #r = 2/3 #.

Napominjemo i sljedeće:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

Tako možemo jednostavno izračunati zbroj geometrijske serije # (2/3) ^ n # i onda pomnožite taj iznos sa #10# doći do našeg rezultata. To olakšava stvari.

Također imamo jednadžbu:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

To nam omogućuje da izračunamo zbroj niza počevši od # N = 0 #, Ali želimo ga izračunati # N = 2 #, Da bismo to učinili, jednostavno ćemo oduzeti # N = 0 # i # N = 1 # od punog iznosa. Pišući prvih nekoliko pojmova suma možemo vidjeti da izgleda ovako:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Možemo vidjeti da:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#