Pitanje # 0df97

Odgovor:

Odgovor na 4 je # E ^ -2 #.

Obrazloženje:

Problem je:

#lim_ (x-> oo) ((2 x + 2) / (2x + 4)) ^ (2 x + 2) *

Sada je to težak problem. Rješenje leži u vrlo pažljivom prepoznavanju uzoraka. Možete se sjetiti definicije # E #:

# E = lim_ (u-> oo) (1 + 1 / u) ^ u ~~ 2,718 … #

Ako bismo mogli prepisati granicu kao nešto što je blizu definiciji # E #, dobili bismo naš odgovor. Dakle, pokušajmo.

Zapamtite to #lim_ (x-> oo) ((2 x + 2) / (2x + 4)) ^ (2 x + 2) * odgovara:

#lim_ (x-> oo) ((2 x + 4-2) / (2x + 4)) ^ (2 x + 2) *

Možemo podijeliti dijelove na sljedeći način:

#lim_ (x-> oo) ((2 x + 4) / (2x + 4) -2 / (2 x + 4)) ^ (2 x + 2) *

# = Lim_ (x-> oo) (1-2 / (2 x + 4)) ^ (2 x + 2) *

Stižemo tamo! Usredotočimo se na a #-2# s vrha i dna:

#lim_ (x-> oo) (1-2 / (2 x + 4)) ^ (2 x + 2) *

# = Lim_ (x-> oo) (1 + ((- 2)) / (- 2 (x-2))) ^ (2 x + 2) *

# -> lim_ (x-> oo) (1+ (otkazivanje (-2)) / (otkazivanje (-2) (- 2-x))) ^ (2 x + 2) *

# = Lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2 x + 2) *

Primijenimo zamjenu # U-xc-2-> X = 2-u #:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2 x + 2) *

# = (1 + 1 / u) ^ (2 (2-u) + 2 #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) *

# = (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) *

Svojstva eksponenta govore: # X ^ (a + b) = x ^ x ^ b #

Tako #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) * odgovara:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u) (1 + 1 / u) ^ (- 2) *

Svojstva eksponenta također govore da: # X ^ (ab) = x ^ (a ^ b) #

Što znači da se to dodatno smanjuje na:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) (1 + 1 / u) ^ (- 2) *

# = Lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) *

Po definiciji, #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (u) = e #; i korištenjem izravne supstitucije na drugom graničnom prinosu:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) *

# = 1 / (1 + 1 / oo) ^ (2) #

#=1/(1+0)^(2)#

#=1/1^(2)=1#

Dakle, rješenje je …

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) *

# = (E) ^ - 2 (1) #

# = E ^ -2 #