Odgovor:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
Obrazloženje:
Da bi ovaj problem imao smisla # 4-9x ^ 2> = 0 #, Dakle # -2/3 <x <= 2/3 #, Stoga možemo odabrati a # 0 <u <pi # tako da # X = 2 / 3cosu #, Koristeći to, varijablu x možemo zamijeniti u integralnu uporabu # Dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # ovdje to koristimo # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # i to za # 0 <u <pi # #sinu> = 0 #.
Sada koristimo integraciju dijelovima kako bismo pronašli # intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #, Stoga # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Tako smo pronašli #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, sada zamjenjujemo #x# natrag # U #, pomoću # U = cos ^ (- 1) ((3 x) / 2) *, Dakle #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
To možemo dodatno pojednostaviti pomoću definicije sinusa i kosinusa u smislu trokuta. Za pravokutni trokut s kutom # U # na jednom od neprikladnih uglova, # sinu = "suprotna strana" / "najduža strana" #, dok # cosu = "susjedna strana" / "najduža strana" #, jer znamo # Cosu = (3 x) / 2 #, možemo odabrati susjednu stranu # 3x # i najduža strana #2#, Koristeći Pitagorin teorem, nalazimo suprotnu stranu #sqrt (4-9x ^ 2) *, Dakle #sin (cos ^ (- 1) ((3 x) / 2)) = Sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) *, Stoga #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
