Dokazati sqrt (^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Odgovor:

U objašnjenju

Obrazloženje:

Na normalnoj koordinatnoj ravnini imamo koordinate poput (1,2) i (3,4) i takve stvari. Možemo reexpress te koordinate n uvjetima radijusa i kutova. Dakle, ako imamo točku (a, b), to znači da idemo jedinice desno, b jedinice i #sqrt (a + b ^ 2 ^ 2) * kao udaljenost između podrijetla i točke (a, b). nazvat ću #sqrt (^ 2 + b ^ 2) = r #

Tako smo i mi # ^ Re arctan (b / a) #

Da završimo ovaj dokaz, podsjetimo se formule.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Funkcija lukavice mi daje kut koji je također theta.

Dakle, imamo sljedeću jednadžbu:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)) #

Sada ćemo nacrtati pravi trokut.

Arktan od (b / a) mi govori da je b suprotna strana a a susjedna strana. Dakle, ako želim cos arctana (b / a), koristimo Pitagorin teorem kako bismo pronašli hipotenuzu. Hipotenuza je #sqrt (a + b ^ 2 ^ 2) *, Dakle, cos (arctan (b / a)) = susjedan iznad hipotenuze = # A / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) *.

Najbolji dio toga je činjenica da ovaj isti princip vrijedi i za sinus. Dakle, grijeh (arctan (b / a)) = nasuprot hipotenuze = # B / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) *.

Sada možemo ponovno izraziti naš odgovor na sljedeći način: #R * ((a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (BI / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) *.

Ali zapamti #r = sqrt (^ 2 + b ^ 2) # sada imamo: #r * ((a / r) + (bi / r)) #, Odustani od R-a, a vi imate sljedeće: # A + bi #

Stoga, # (Re ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi- #