Odgovor:
# "Ovdje nema jednostavne faktorizacije. Samo opća metoda" #
# "za rješavanje kubičnih jednadžbi može nam pomoći ovdje."
Obrazloženje:
# "Možemo primijeniti metodu koja se temelji na zamjeni Viete."
# "Podjela na prvi koeficijent donosi:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "Zamjena" x = y + p "u" x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c "daje:" #
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp + c = 0 #
# "ako uzmemo" 3p + a = 0 "ili" p = -a / 3 ", prvi koeficijent" # # "postaje nula i dobivamo:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(s" p = -2/3 ")" #
# "Zamjena" y = qz "u" y ^ 3 + b y + c = 0 ", daje:" #
# z ^ 3 + b z / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "ako uzmemo" q = sqrt (| b | / 3) ", koeficijent z postaje" # "
# "3 ili -3 i dobivamo:" #
# "(ovdje" q = 1.61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "Zamjena" z = t + 1 / t ", donosi:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1.87850338 = 0 #
# "Zamjena" u = t ^ 3 "daje kvadratnu jednadžbu:" #
# => u ^ 2 + 1.87850338 u + 1 = 0 #
# "Korijeni kvadratne jednadžbe su složeni."
# "To znači da imamo 3 stvarna korijena u kubičnoj jednadžbi."
# "Korijen ove kvadratne jednadžbe je" #
# u = -0.93925169 + 0.34322917 i #
# "Zamjena varijabli unatrag, donosi:" #
#t = root3 (u) = 1.0 * (cos (-0.93041329) + grijeh (-0.93041329)) #
# = 0.59750263 - 0.80186695 i.
# => z = 1.19500526 + i 0.0.
# => y = 1.93100097 + i 0.0.
# => x = 1.26433430 #
# "Drugi korijeni mogu se pronaći dijeljenjem i rješavanjem" # # # "preostala kvadratna jednadžba." #
# "Ostali korijeni su stvarni: -3.87643981 i 0.61210551."
Odgovor:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
gdje:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
Obrazloženje:
S obzirom na:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Imajte na umu da je to mnogo lakše ako se u pitanju pojavljuje pogreška.
Na primjer:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-boja (crvena) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + boja (crvena) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
Ako je kubični točan u danom obliku, tada možemo pronaći njegove nule i faktore kako slijedi:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Transformacija Tschirnhaus
Da bi zadatak rješavanja kubnog jednostavnijeg, učinili kubičnim jednostavnijim korištenjem linearne zamjene poznate kao Tschirnhausova transformacija.
# 0 = 108f (x) = 216x ^ 3 ^ + 432x 2-1404x + 648 #
# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #
# = T ^ 3-282t + 1712 #
gdje # T = (6x + 4) #
Trigonometrijska supstitucija
Od #F (x) * ima #3# stvarne nule, Cardanova metoda i slično rezultirat će izrazima koji uključuju ireducibilne kockaste korijene kompleksnih brojeva. U takvim okolnostima preferiram da umjesto toga koristim trigonometrijsku zamjenu.
Staviti:
#t = k cos theta #
gdje #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
Zatim:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
# boja (bijela) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 282k cos theta + 1712 #
#color (bijela) (0) = 94k (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) + 1712 #
#color (bijelo) (0) = 94k cos 3 theta + 1712 #
Tako:
#cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94) #
Tako:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2 npi #
Tako:
#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
Tako:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
Koji daje #3# različite nule kubnog in # T #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) za #n = 0, 1, 2 #
Zatim:
#x = 1/6 (t-4) #
Dakle, tri nule dane kubike su:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
s približnim vrijednostima:
# x_0 ~~ 1.2643 #
# x_1 ~~ -3.8764 #
# x_2 ~~ 0.61211 #
